rotation kring x axel

Mattehjalp skrev:

Hej, i matte 4 så bruka vi beräkna rotation kring x-axeln genom pi*x^2, varför tar man

(cylinder volym)-pi*x^2 här? Jag ser att de skrivit att det bildas en urholkad cylinder men fattar inte

Man kan använda antingen skivmetoden eller skalmetoden eller en cylinder med ett hål i (med någon av metoderna). Om du vill använda skivmetoden blir varje skiva en cirkelskiva med ett cirkulärt hål i.

hur vet vi att den blir ihålig?

Rita upp rotationskroppen, så ser du det! Det gula kommer att bli en konstigt formad ring, det vita kommer att bli ett hål.

Om man hade roterat runt y-axeln istället hade det ite blivit något hål.

så det blir aldrig hål runt yaxeln? bara runt x-axeln?

Rita de båda varianterna! En halvslarvig skiss räcker långt. Behöver du hjälp med hur man ritar rotationskropparna?

ja jätte gärna

rotation runt x-axeln

okej tack!!

Mattehjalp skrev:

så det blir aldrig hål runt yaxeln? bara runt x-axeln?

Om det blir hål eller inte beror helt och hållet på hur området som roteras ser ut.

I det här fallet skulle det inte bli något hål vid rotation runt y-axeln.

===========

Men hur skulle det bli t.ex. I följande fall?

Låt området som begränsas av

• y = 0
• y = x²
• x = 2

rotera ett varv runt y-axeln. Vilken volym har den uppkomna rotationskroppen?

Bildas ihålig cylinder

h=4 (y=2^2=4)

r=2

cylinders volym= pi*r^2*h=50,24 v.e

rotationskroppens volym=integrera pi*x^2 från 0 till 4

pi*x^2= pi*y

pi* y^2/2 ger 25,12 v.e

50,24-25,12=25,12 v.e

är jätte osäker på om jag tänkt rätt.

Mattehjalp skrev:

Bildas ihålig cylinder

h=4 (y=2^2=4)

r=2

cylinders volym= pi*r^2*h=50,24 v.e

Det stämmer, men använd exakta värden där det går. Cylinderns volym är $16\pi$ v.e.

rotationskroppens volym=integrera pi*x^2 från 0 till 4

Du tänker rätt, men du skriver fel. Detta är hålets volym.

pi*x^2= pi*y

pi* y^2/2 ger 25,12 v.e

Samma hör, använd exakta värden. Hålets volym är $8\pi$ v.e.

50,24-25,12=25,12 v.e

är jätte osäker på om jag tänkt rätt.

Bra!

Frånsett ovanstående kommentarer så är allt rätt.

Rotationskroppens volym är alltså $16\pi-8\pi=8\pi$ v.e.

Oo ja det är mer logiskt att det är hålets volym som man subtraherar från cylindern.

Hur skulle man kunna rita denna rotationskropp? lyckas inte riktigt med det

Mattehjalp skrev:

Hur skulle man kunna rita denna rotationskropp? lyckas inte riktigt med det

Vrid Tures skiss 90° moturs.

yepp nu ser jag det, tack

men nu när jag vet att vi får hålets volym när vi integrerar, varför tar de cylinders volym minus hålets volym här?

jag har fått skissen så

Snygg skiss!

Men integralen de sätter upp ger inte volymen av en cylinder utan istället volymen av rotationskroppen om den inte skulle ha haft ett cylindriskt hål i mitten

Men de integrerar på samma sätt, så hur vet vi när vi får hålets volym och när vi får volym av rotationskroppen om den ej skulle haft något hål i? är det kanske när vi får en cylinder som i detta fall är hel, dvs ej har ngt hål?

eller jag förstår nu, tack för all hjälp!!