Rörelsemängd och rörelsemängdsmomentets bevarande

Rörelsemängden hos ett system bevaras i x-riktningen (dvs horisontellt) om det inte finns några externa krafter i x-riktningen. Men i detta fall finns det externa krafter som verkar i x-riktningen. Pendeln påverkas av reaktionskrafter i O, som kan verka i x-riktningen.

Om vi tittar på en klassisk ballistisk pendel av den enkla typen:

Här har man räknat med att rörelsemängden är bevarad och fått höjden:

$h =\dfrac{ (U\dfrac{m}{m+M})^2}{2g}$

Om vi istället räknar med rörelsemängdsmoment får vi:

$mLU = I_O\omega$

Där $L$ är längden på snöret och det liksom tidigare gäller att energin är bevarad efter stöten så att:

$I_O\omega^2/2 = \left(m+M\right)gh$

Från rörelsemängdsmomentet får vi:

$I_O( \dfrac{mLU}{I_O})^2/2=\left(m+M\right)gh$

$\dfrac{(mLU)^2}{2 I_O}=\left(m+M\right)gh$

Med $I_O=\left(m+M\right)L^2$ får vi:

$\dfrac{(mLU)^2}{2(m+M)L^2}=\left(m+M\right)gh$

$\dfrac{(mU)^2}{2(m+M)}=\left(m+M\right)gh$

Vilket leder till samma resultat, alltså:

$h =\dfrac{ (U\dfrac{m}{m+M})^2}{2g}$

Så, vad beror detta på? Vad är det som gör att det uppstår stötkrafter i ditt problem men inte för den klassiska ballistiska pendeln? Jag skulle gissa att det har något att göra med att man i ditt problem inte träffar masscentrum och att stången har massa. 

Detta är varför de kallar den för en stelkroppspendel. Approximationen att rörelsemängden är bevarad för en klassisk ballistisk pendel kräver att man träffar masscentrum men framförallt att massan är koncentrerad i en punkt.