Rörelsemängd

Det bör väl vara olika värden på vinkelhastigheten om partikeln ligger längst ner eller högst upp på den sneda väggen.

Utan friktion skulle det bara finnas en stabil vinkelhastighet, men med friktion så blir det annorlunda.

Tänk på att partikeln rör sig med konstant fart längs en cirkel med radien r. Vi vet, sedan gymnasiet, att accelerationen är riktad mot centrum och har beloppet r${\omega }^2$. Enligt herr Newton är kraftresultanten proportionell mot accelerationen.

Smaragdalena skrev:

Det bör väl vara olika värden på vinkelhastigheten om partikeln ligger längst ner eller högst upp på den sneda väggen.

Men eftersom det står att partikeln ligger på avsåndet r från rotationsaxeln betyder inte det att den bara ligger på en plats på väggen?

Har i alla fall gjort såhär (i naturliga komponenter):

I b-led:

$$\begin{gathered} mg = F_N\cos \alpha + F_f \sin \alpha \\ {F}_N(\cos \alpha +\mu \sin \alpha ) = mg \\ {F}_N = mg/(\cos \alpha + \mu \sin \alpha ) \end{gathered}$$

I normalriktningen: 

$$\begin{gathered} F_N\sin \alpha - F_f\cos \alpha = {\omega }^{2}rm \\ {F}_N(\sin a-\mu \cos \alpha ) = {\omega }^{2}rm \\ \omega =\sqrt{\frac{g}{r}\frac{\sin \alpha -\mu \cos \alpha }{\cos \alpha +\mu \sin \alpha }} \end{gathered}$$

Men förstår som sagt inte hur det blir flera vinkelhastigheter som är möjliga.

Tänk på att friktionskraften inte alltid är produkten av friktionskoefficienten och normalkraften. 

Om vi löser ut F_r och F_N från ekvationerna så får vi

F_N = masin$\alpha$ + mgcos$\alpha$

F_r = -macos$\alpha$ + mgsin$\alpha$

Dessa uttryck säger vad normalkraft och friktionskraft måste vara för att rörelsen skall vara möjlig. Dock finns det vissa begränsningar på vilka värden på normalkraft och friktionskraft som är möjliga. Vi formulerar detta termer av följande möjlighetsvillkor.

F_N $\ge$ 0

$\left|F_f\right|\le \mu F_N$

Det första villkoret är alltid uppfyllt, i alla fall om vi förutsätter att 0 $\le$ $\alpha$ $\le$ $\frac{\pi }{2}$.

Det andra villkoret kan man skriva som två villkor för att bli av med beloppet.

-$\mu$F_N $\le$ F_f

F_f $\le$ $\mu$F_N

Det går också utmärkt att lösa detta problem grafiskt.

Säg till om du inte kommer vidare.

Detta är ett lite knepigt problem. Man finner att för vissa värden på vinkeln $\alpha$ så kan man inte ha hur stort a (r${\omega }^2$) som helst, medan för andra värden på vinkeln så finns det ingen övre begränsning på a. På liknande sätt finner man att för vissa värden på vinkeln så kan inte a vara hur litet som helst, meden för andra värden på vinkeln så finns inget sådant krav.

eliawelise skrev:

Har i alla fall gjort såhär 

[...]

$\omega =\sqrt{\frac{g}{r}\frac{\sin \alpha -\mu \cos \alpha }{\cos \alpha +\mu \sin \alpha }}$

Men förstår som sagt inte hur det blir flera vinkelhastigheter som är möjliga.

Friktionskraften kan peka upp längs planet ($\omega_{min}$) eller ned ($\omega_{max}$). Se det intuitivt som att om vinkelhastigheten är för låg kommer partikeln vilja glida nedåt men om den är för hög kommer den vilja flyga uppåt. Uttrycket du då kommer fram till är:

$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{r} \dfrac{\sin \alpha \pm \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha \mp \mu \sin \alpha}}$

Alltså är det likt ditt men den ändrade riktningen på friktionskraften leder till ombytta tecken.

Dr. G skrev:

Tänk på att friktionskraften inte alltid är produkten av friktionskoefficienten och normalkraften. 

Vad menar du med detta? Maximalt möjliga friktionskraft enligt Coulombs modell är just produkten av koefficienten och normalkraften; det är så den är definierad. Tror du att de använder sig av andra tribologiska modeller i en introducerande mekanik-kurs eller var det mer att du ville informera om att modellen är bristfällig (vilket den ofta är)?

Ebola skrev:

Dr. G skrev:

Tänk på att friktionskraften inte alltid är produkten av friktionskoefficienten och normalkraften. 

Vad menar du med detta? Maximalt möjliga friktionskraft enligt Coulombs modell är just produkten av koefficienten och normalkraften; det är så den är definierad. Tror du att de använder sig av andra tribologiska modeller i en introducerande mekanik-kurs eller var det mer att du ville informera om att modellen är bristfällig (vilket den ofta är)?

Det jag ville säga var att friktionskraften till beloppet kan vara mellan 0 och μN, så inte nödvändigtvis μN. 

Jag fick följande svar:

$0\le \alpha \le arc\tan \mu$

${\omega }_{min}$ = 0

$arc\tan \mu <\alpha \le \mathrm{\pi }/2$

${\omega }_{min}$ = ${\left(\frac{g\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)}{r\left(\cos \alpha +\mu \sin \alpha \right)}\right)}^{1/2}$

$0\le \alpha <\frac{\mathrm{\pi }}{2}-arc\tan \mu$

${\omega }_{max}$ = ${\left(\frac{g\left(\sin \alpha +\mu \cos \alpha \right)}{r\left(\cos \alpha -\mu \sin \alpha \right)}\right)}^{1/2}$

$\frac{\mathrm{\pi }}{2}-arc\tan \mu \le \alpha \le \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

${\omega }_{max}$ = $\infty$

Förstår nu, tack så mycket!