Rör & Tryck & Flöde

Vad menar du med flödet? Mätt som volym/tid är den lika stor på alla ställen längs ett rör under förutsättning att det råder steady-state.

Om du tänker dig att vatten och ström (elektrisk) delvis har jämförbara egenskaper.
Då kanske det är enklare att föreställa sig att motståndet i en ledare (röret) ökar linjärt med ledarens (rörets) längd varför även strömmen (flödet) avtar med ledarens (rörets) längd, om andra parametrar är konstanta.

Affe - vad menar du med att övriga parametrar ska vara konstanta? Det är omöjligt att ha olika stora volym- och massflöden i olika delar av röret. Hastigheten är konstant så länge rörets diameter är det, men diametern borde ses som en ”övrig parameter”.

Teraeagle skrev:

Affe - vad menar du med att övriga parametrar ska vara konstanta? Det är omöjligt att ha olika stora volym- och massflöden i olika delar av röret. Hastigheten är konstant så länge rörets diameter är det, men diametern borde ses som en ”övrig parameter”.

Om du utsätter ledare av viss dimension och visst material (etc.) för samma spänning och som du sedan klipper i olika längder, vad är det som varierar och vad är det som är konstant?

Plopp får förtydliga frågan när hen återkommer men jag tolkar sammanhanget likt Affe som att det är en hänvisning till att Bernoullis princip inte ensamt förutsäger hur flödet genom rör påverkas av rörets längd. 

Medan ett flöde genom ett rör rent idealt inte kräver någon tryckskillnad mellan rörets ändar (då en massa i rörelse fortskrider i rörelse) så är det bekant från många praktiska situationer att det vid flöden genom rör föreligger en tryckskillnad mellan rörets ändar och att flödeshastigheten beror av denna tryckskillnad. Vidare verkar rörets längd även inverka på hur stort det resulterande flödet blir såväl som dess diameter. Det enklaste sättet att realisera detta är att försöka suga luft genom ett sugrör där det maximala undertrycket lungorna kan generera är någorlunda oberoende samtigt som flödeshastigheten luften får när det flödar genom röret uppenbarligen blir lägre ju längre röret är. Sug luft genom ett kort rör och flödet blir stort medan flödet genom ett långt rör kan bli minimalt. Med vätskor uppstår samma effekt men är något mindre märkbart då energin som krävs för att sätta vätskan i rörelse blir mer märkbar på grund av den högre densiteten.

Dock så förutsäger Bernoullis princip inte denna effekt -- alls, och kanske rentav det motsatta. Detta eftersom Bernouillis lag härleds utan hänsyn till friktion och under premissen att total rörelseenergi bevaras vilket går bra i vissa tillämpningar och inte andra. Det finns ett en känd berättelse om att Euler ska ha designat en system för att mata en fontän men som endast tog hänsyn till något ekvivalent med Bernoullis princip och utan att ta hänsyn till friktion vilket resulterade i att fontänen ynkligt rann snarare än sprutade. 

Men låt oss återkomma till den något förvirrande satsen 

Enligt Bernoullis princip borde vätsketrycket bli mindre och hastigheten snabbare. Borde inte detta göra att flödet blir (ungefär) exakt lika stort? Hur ska man tänka?

Och vad jag tror den kom av? Om man mycket naivt kollar på den graviationsfria Bernouillis princip 

$v^2 / 2 + p / \rho = C$

där v är flödets hastighet $\rho$ fluidens densitet, och $p$ det statiska trycket, alla mätta vid en specifik punkt längs en flödeslinje/i röret. Om vi tänker oss att p minskar längsmed rörets längd så säger denna princip oss att v måste öka för att kompensera för minskningen i p. Detta är dock inte kompatibelt med att v nödvändigtvis måste vara konstant längsmed ett rör med konstant tvärsnitt till följd av kontinuitetsekvationen, principen om massans bevarande. 

Vad Bernouillis lag snarare säger är alltså att trycket längsmed ett rakt horisontellt rör nödvändigtvis är konstant (även om det inte är det i verkligheten)

Lärdommen här bör även vara att inte glömma bort kontinuitetsekvationen (att flöde in måste vara lika med flöde ut) då detta geometriska villkor i någon mån är överordnad alla fysiksa.

Den praktiska lösningen är helt enkellt att acceptera att Bernouillis princip inte gäller i situationer där friktionseffekter spelar en avgörande roll. I de fallen så måste man antingen involvera en empirisk modell eller involvera viskositet (som BP inte tar hänsyn till) via Navier-Stokes och dess syskon.