Rolles sats
Behöver lite hjälp med att förstå hur jag skall gå tillväga.
f(x) = sin(x/2) ,
Jag skall bevisa att funktionen satisfierar de tre punkterna i rolles sats.
1. F är kontinuerlig i det stängda intervallet (a,b)
Här är det väl att jag skall göra lim x-->a f(x) = f(a)
lim x--> pi/2 f(pi/2)= sin pi/4
V.L = H.L
2. F är deriverbar i det öppna intervallet (a,b)
3. f(a) = f(b)
Hur ska jag gå tillväga med sista två punkter? Stämmer den första?
Nej det första stämmer inte. För att visa att den är kontinuerlig ska du visa att det gäller att för alla i intervallet.
Men jag tvivlar på att du ska göra detta, exakt hur är frågan formulerad? För att om man vet att sin(x) är kontinuerlig och x/2 är kontinuerlig så är och sammansättningen kontinuerlig.
På fråga två så ska du helt enkelt visa att den är deriverbar, det känns också som det är ganska trivialt sant.
På 3 ska du bara räkna ut vad f(a) och f(b) är i detta fall och konstatera att de är lika.
"Verify that the function satisfies the three hypotheses of Rolle's Theorem on the given intervall. Then find all numbers c that satisfy the conclusion of Rolle's Theorem."
Okej, ja jag uppfattar inte det som att du ska göra regelrätta bevis, utan du ska mer bara konstatera, japp den är kontinuerlig, den är deriverbar och ja f(a) = f(b).
Hur hade jag visat att de två första punkterna stämmer om jag behövde göra det?
För att visa att den är kontinuerlig så ska du bevisa att
Detta mynnar ut i hur man vill definiera sinus och sedan blir det nog att man behöver "bygga upp" några satser för att sedan dra slutsatsen att sinus är kontinuerlig. Ungefär samma sak för deriverbarheten.
