Rolles sats

Låt $f$ vara en icke-konstant reellvärd funktion som är kontinuerlig på det slutna intervallet $[a,b]$ och deriverbar på det öppna intervallet $(a,b).$ Om $f(a) = f(b)$ så finns det ett tal ( $c$ ) någonstans mellan $a$ och $b$ sådant att derivatan $f^'(c) = 0.$

Bevis av Rolles sats.

Eftersom funktionen $f(x)$ är kontinuerlig på det slutna (och begränsade) intervallet $[a,b]$ så antar funktionen sitt största värde (när $x = x_{M}$ och sitt minsta värde (när $x = x_m$ ) på detta intervall.

Både $x_m$ och $x_M$ ligger i det öppna intervallet $(a,b);$ annars skulle funktionen vara konstant. Funktionen är deriverbar i både $x_m$ och $x_M$ och eftersom dessa är extrempunkter till funktionen så är derivatan noll i båda dessa punkter, vilket skulle bevisas.

Varför ligger x_m och x_M båda i öppna intervallet? Detta behöver inte gälla med kraven du ställt.

Slutsatsen du kan dra är att minst en av dem ligger i intervallet. Detta räcker för resten av beviset.

Svara