Rolig uppgift som testar era matematik kunskaper på gymnasienivå.

Hej! Jag tänkte uppmana er som läser detta till att göra en rolig, eventuellt utmanande, härledning. Det finns säkert flera olika sätt att utföra uppgiften. Ett sätt jag gjorde det på krävde enbart gymnasiekunskaper.

Givet att: $a \sin (x) + b \cos (x) = k \sin (x + p)$ . Bestäm uttryck för k och p bestående av konstanterna a, respektive b.

hint:

Visa spoiler

$k = \sqrt{a^2 + b^2}$ och $p = a r c \tan (\frac{b}{a})$

Min lösning:

Visa spoiler

$a \sin (x) + b \cos (x) = k \sin (x + p) A d d i t i o n s v i n k e l g e r : k \sin (x + p) = k (\sin (x) \cos (p) + \sin (p) \cos (x)) V i f å r d ä r f ö r a t t : a \sin (x) + b \cos (x) = k \cos (p) \sin (x) + k \sin (p) \cos (x) M a t c h a t e r m e r : a \sin (x) = k \cos (p) \sin (x) o c h b \cos (x) = k \sin (p) \cos (x) V i f å r d ä r f ö r a t t : a = k \cos (p) o c h a t t b = k \sin (p) A d d e r a i h o p t e r m e r n a k v a d r a d e d e s s a l i k h e t e r : a^{2} + b^{2} = k^{2} \sin^{2} (p) + k^{2} \cos^{2} (p) T r i g e t \tan! a^{2} + b^{2} = k^{2} e l l e r a t t k = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . O k! D ä r h a r v i k . N u f ö r p . O b s e r v e r a f r å n t i d i g a r e a t t : a = k \cos (p) o c h a t t b = k \sin (p) D e t b e t y d e r a t t : \sin (p) = \frac{a}{k} = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} o c h a t t : \cos (p) = \frac{b}{k} = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} O K! D e t g ä l l e r d ä r f ö r a t t \frac{\sin (p)}{\cos (p)} = \tan (p) = \frac{b}{a} e l l e r a t t : p = a r c \tan (\frac{b}{a})$

Svara