Rolig och ganska svår Fy1-uppgift

Jag kommer genomgående kalla kulorna för K1 och K2. K2 är den kula som dras upp i början. Låt en trådlängd vara a längdenheter lång.

Eftersom det bildes en vinkel på 42° mellan trådarna är den vinkel som bildas mellan tråden till K2 och horisontalplanet 48°. Dessutom vet vi att en trådlängd är a längdenheter lång. Utav det kan vi ta fram ett uttryck för K2s höjd över K1: $h=a(1-\sin (42°\left)\right)$. Eftersom K2 är över K1 kommer den ha en lägesenergi jämfört med K1:

$E_p=mg\left(a\right(1-\sin (42°)\left)\right)$

Denna lägesenergi omvandlas helt till rörelseenergi precis innan stöten. Då kan vi ta fram ett uttryck för dess hastighet:

$$\begin{gathered} \frac{m{v}^2}{2}=mg\left(a\right(1-\sin (42°)\left)\right) \\ v=\sqrt{2g\left(a\right(1-\sin (42°)\left)\right)}\approx \sqrt{2g·0.331a} \end{gathered}$$

Sedan kan vi använda rörelsemängdens bevarande för att beräkna hastigheten som hela systemet får precis efter kollisionen:

 $$\begin{gathered} m\sqrt{2g·0.331a}=2mv \\ v=\frac{\sqrt{2g·0.331a}}{2} \end{gathered}$$

Vi vet att hela systemet kommer få en rörelseenergi på grund av dess hastighet. Hela den rörelseenergin kommer omvandlas till en lägesneergi jämfört med lodlinjen:

$$\begin{gathered} E_p=E_k \\ \Rightarrow 2mgh=\frac{2m{\left(\sqrt{2g·0.331a}\right)}^2}{2} \\ \Rightarrow h=\frac{0.331a}{4} \end{gathered}$$

Eftersom vi vet att lodlinjen är a l.e. lång kan vi använda lite trigonometri för att beräkna den sökta vinkeln:

$90°-{\sin }^{-1}\left(\frac{4a-0.331a}{4a}\right)\approx 23°$

90-graders vinkeln kommer ifrån att det är 90° mellan lodlinjen och horisontalplanet, och den vinkeln som beräknas med arcsinfunktionen är vinkeln som bildas i "triangeln" efter att systemet har nått sin högsta höjd.

Kulans hastighet blir halv så stor pga rörelsemängdens bevarande.

Varje kulas kinetiska energi blir fyra gånger mindre. Även högsta höjden blir fyra gånger mindre.

För små vinklar är höjden proportionell mot vinkeln i kvadrat, så det blir halva vinkeln.