Rita tredje grad funktions grafen och faktorisera 3e grad polynom

God morgon!

Jag totalt fastnade på den här uppgift i morse, som var super intressant.

"Grafen till $f (x) = x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ har lokal maximipunkt på x-axeln. Skissa grafen utan hjälpmedel."

Eftersom kapiteln handlar om att skissa approximativa grafer, tänkte jag att dom vill att vi först identifierar vilka termer dominerar för $x^{3}$ och $- 8 x - 12$ ; samt räknar ut nollpunkter för derivata, för att få ut maximi och minimivärde.

För stora $|x|$ dominerar $x^{3}$ så funktionen kommer att växa snabbt för positiva x och dyka snabbt för negativa x.

För små $|x|$ dominerar $- 8 x - 12$ . För x=0 och nära 0 y är nära -12. För x=1 y=-18 och för x=-1 y=-4.

I nästa steget, räknade jag ut derivata $f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 8$ , pq formeln ger nollställena $- \frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{8}{3}}$ som blir -2 och $\frac{4}{3}$ . Eftersom f' är negativ för x=0 tecken tabell ger att funktion växer innan -2 (maximipunkt), sjunker mellan -2 och $\frac{4}{3}$ , passerar -12 på y axeln, når minimipunkt x = $\frac{4}{3}$ och växer för stora x.

Jag var ganska säkert att jag var rätt men när jag kollar på facit upptäckte jag att för x=3, y=0. Som jag har missat i raisonnement! (Har faktiskt också missat att f(2)=0 men eftersom maximivärde på den här punkt var också 0, spelade det inte så stor roll).

Eftersom jag kom inte på en sätt att faktorisera tredjegrad polynomet själv (jag tror att vi fick bara pq formeln och nollproduktion från boken?). Så jag googlade upp saken och där blev det riktigt spännande :)!

Hittade den här videon där löses min polynom med factorisering: https://www.youtube.com/watch?v=0VFdfS5IXiw

Jag förstår vad händer i första sekunderna, han drar ut alla faktorer av -12.

MEN! Vid sek 0:20 säger han ''just to save time, I know one of them [factors] is negative 3''. Hur kan han lista ut det redan?

Efter det håller han på något som verkar rätt snabbt och smidigt som jag vill jättegärna förstå!

Så jag undrade:

1. Finns det en sätt att hitta nollställena som jag har missat för 3e grad polynom (eftersom dom markeras i faciten)

2. Kan någon förklara videon snälla!

Stor tack på förhand!

om ett polynom har nollställena a,b,och c så är polynomet k(x-a)(x-b)(x-c)

om du multiplicerar ihop parenteserna så får du k(x^3+ mx^2+nx+s)

där termen s är (-a)(-b)(-c) (utför multiplikationen för att övertyga dig!)

Således om man faktoriserar konstanttermen i polynomet så har man de möjliga nollställena. (dvs om a,b och c är heltal)

Därav faktoriseringen han gör.

Därefter gör han en polynomdivision, på ett sätt som jag inte sett tidigare, där han enbart tar fram resten vid divisionen för att verifiera att det är en rot. Om resten inte blir noll är det ingen rot och man får försöka med nästa tal.

Det var givet i din uppgift att ett lokalt max låg på x-axeln, då vet man att det också är ett nollställe. (faktiskt en dubbelrot)

Om du tittar på hur han räknar, (frys filmen och tänk igenom) han summerar de två översta siffrorna och multiplicerar resultatate dvs siffran i tredje raden med faktorn (-3 i första ex) och skriver produkten på andra radens nästa position. osv

När man ska faktorisera tredjegradspolynom har vi inget annat alternativ än att först gissa en faktor. Det gör man genom att stoppa in olika värden på x i polynomet och se om resultatet blir 0. Om du stoppar in x=-3 i hans polynom kommer resultatet bli 0.

Om man då har gissat rätt på en rot, säg till exempel x=1, så kommer ditt polynom bli (x-1)(ett andragradspolynom). Andragradspolynomet får man hitta genom att dividera det ursprungliga polynomet med x-1 (förslagsvis genom liggande stolen). Du skrev om nollproduktmetoden, så här kan du lösa vidare.

Ture skrev
Om du tittar på hur han räknar, (frys filmen och tänk igenom) han summerar de två översta siffrorna och multiplicerar resultatate dvs siffran i tredje raden med faktorn (-3 i första ex) och skriver produkten på andra radens nästa position. osv

Det är precis det jag vill kunna göra! Polynom divison är jag inte bekant med.

Ska pausa och fundera.

Hondel skrev :
När man ska faktorisera tredjegradspolynom har vi inget annat alternativ än att först gissa en faktor. Det gör man genom att stoppa in olika värden på x i polynomet och se om resultatet blir 0. Om du stoppar in x=-3 i hans polynom kommer resultatet bli 0.
Om man då har gissat rätt på en rot, säg till exempel x=1, så kommer ditt polynom bli (x-1)(ett andragradspolynom). Andragradspolynomet får man hitta genom att dividera det ursprungliga polynomet med x-1 (förslagsvis genom liggande stolen). Du skrev om nollproduktmetoden, så här kan du lösa vidare.

Tack för svaret!

Men han säger "just to save time, I know that one root is neg. 3". Alltså han gissar ju inte. Hur kan han träffa rätt utan att behöva gissa sig igenom alla faktorer?

Jag har varit på räknestygga och det verkar att -3 är inte en rot!

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x3+%2B+x2+%E2%88%928x+%E2%88%9212+real+roots

Men iaf fick jag hjälp där, tack till era volontär :)

Svara

Visa senaste svar