Rita kurvan y=f(x) och ange eventuella asymptoter och lokala min/maxpunkter

Hej, jag har nog löst uppgiften tror jag men inte riktigt förstått allting jag har gjort.

Funktionen: $f (x) = \frac{x^{2} + 5}{|x - 1| + 1}$

Jag började med att skriva upp funktionen i två olika fall: $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} + 5}{x} d å x \geq 1 \\ \frac{x^{2} + 5}{- x + 2} d å x < 1 \end{cases}$

Sen deriverade jag båda funktionerna: $f' (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 5}{x^{2}} d å x \geq 1 d ä r f' (x) = 0 n ä r x = \sqrt{5} \\ \frac{- (x^{2} - 4 x - 5)}{{(x + 2)}^{2}} d å x < 1 d ä r f' (x) = 0 n ä r x = - 1 \end{cases}$

Teckentabell: $\begin{matrix} x & - 1 & 1 & \sqrt{5} \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} f' (x) \\ f (x) \end{matrix} \begin{matrix} - & 0 & + & + & - & 0 \\ ⋱ & 2 & ⋰ & 6 & ⋱ & \frac{10}{\sqrt{5}} \end{matrix} \begin{matrix} + \\ ⋰ \end{matrix}$

är inte helt hundra på hur jag skulle tänka här men gissar på att när det är x<-1 och -1<x<1 så ska jag använda derivata i fall 2 till teckentabellen och när det är 1<x<sqrt(5) och x>sqrt(5) använder jag derivatan i första fallet för att få fram teckentabellens utseende? det här är jag mest osäker på.

Sen gjorde jag en värdetabell som jag också är osäker på: $\begin{matrix} x & y \\ - 1 & 2 \\ \sqrt{5} & \frac{10}{\sqrt{5}} \\ x \to \infty & \infty \\ x \to - \infty & \infty \end{matrix}$
Är inte helt hundra på om y blir oändligt stort i båda fallen, men det var det enda som verkade logiskt för mig.

Jag fick slutligen ut asymptoterna genom att använda liggande stolen på derivatan av fall 1 och fall 2 och fick följande asymptoter som är rätt: $a s y m p t o t 1 : y = x a s y m p t o t 2 : y = - x - 2$

Jag vill egentligen veta om jag har tänkt rätt här? Är mitt sätt att tänka runt teckentabellen och värdetabellen rätt? Finns det ett enklare sätt att ta fram asymptoten eller är mitt sätt bäst?

Du gör helt rätt på bästa sätt, tycker jag. Ta bara hjälppunkter när du ritar t.ex (0, f(0)). Sen börja rita.

Zeptuz skrev:
Teckentabell: $\begin{matrix} x & - 1 & 1 & \sqrt{5} \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} f' (x) \\ f (x) \end{matrix} \begin{matrix} - & 0 & + & + & - & 0 \\ ⋱ & 2 & ⋰ & 6 & ⋱ & \frac{10}{\sqrt{5}} \end{matrix} \begin{matrix} + \\ ⋰ \end{matrix}$

Funktiomen är inte deriverbar vid x = 1. Det ser ut som om du ändå har en derivata där, vilket lurar dig att tro att funktionen endast har två extrempunkter.

Men du kommer att upptäcka att det finns en tredje när du skissar grafen.

I övrigt ser det bra ut.

Yngve skrev:
Zeptuz skrev:
Teckentabell: $\begin{matrix} x & - 1 & 1 & \sqrt{5} \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} f' (x) \\ f (x) \end{matrix} \begin{matrix} - & 0 & + & + & - & 0 \\ ⋱ & 2 & ⋰ & 6 & ⋱ & \frac{10}{\sqrt{5}} \end{matrix} \begin{matrix} + \\ ⋰ \end{matrix}$

Funktiomen är inte deriverbar vid x = 1. Det ser ut som om du ändå har en derivata där, vilket lurar dig att tro att funktionen endast har två extrempunkter.

Men du kommer att upptäcka att det finns en tredje när du skissar grafen.

I övrigt ser det bra ut.

Jag men precis, jag vet ju hur en funktion som har absolutbelopp brukar se ut, så jag antog att det skulle vara någonting som ser spetsigt ' $\land$ ' ut om du förstår vad jag menar och därför tog jag f(1) för att få fram vart på y-axeln den skall vara. men att jag skriver att derivatan är positiv vid x=1 är fel då? vad ska jag skriva där annars? att den inte existerar? typ ' $~$ ' fast lodrät då.

Mohammad Abdalla skrev:
Du gör helt rätt på bästa sätt, tycker jag. Ta bara hjälppunkter när du ritar t.ex (0, f(0)). Sen börja rita.

Ja ok, tack så mycket!

Zeptuz skrev:
Jag men precis, jag vet ju hur en funktion som har absolutbelopp brukar se ut, så jag antog att det skulle vara någonting som ser spetsigt ' $\land$ ' ut om du förstår vad jag menar och därför tog jag f(1) för att få fram vart på y-axeln den skall vara.

Ja det är bra. Och du behöver då undersöka huruvida spetsen utgör en lokal max- eller minpunkt, eftersom det inte är självklart att det är så.

men att jag skriver att derivatan är positiv vid x=1 är fel då?

Ja, det är fel. Derivatan är positiv strax till vänster om x = 1 och negativ strax till höger om x = 1.

vad ska jag skriva där annars? att den inte existerar? typ ' $~$ ' fast lodrät då.

Att den inte existerar är bra att skriva.

Yngve skrev:
Zeptuz skrev:
Jag men precis, jag vet ju hur en funktion som har absolutbelopp brukar se ut, så jag antog att det skulle vara någonting som ser spetsigt ' $\land$ ' ut om du förstår vad jag menar och därför tog jag f(1) för att få fram vart på y-axeln den skall vara.

Ja det är bra. Och du behöver då undersöka huruvida spetsen utgör en lokal max- eller minpunkt, eftersom det inte är självklart att det är så.

men att jag skriver att derivatan är positiv vid x=1 är fel då?

Ja, det är fel. Derivatan är positiv strax till vänster om x = 1 och negativ strax till höger om x = 1.

vad ska jag skriva där annars? att den inte existerar? typ ' $~$ ' fast lodrät då.

Att den inte existerar är bra att skriva.

jag hänger med nu, tack så mycket!

Svara

Visa senaste svar