Rita kurva med extrempunkter och asymptoter

Hej, 

jag ska rita kurvan till $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2-1}$, och ta med asymptoter och extrempunkter. Såhär gjorde jag:

Till att börja med tvekade jag lite när jag mha L Hospitales regel fick att f(x) går mot + - 1/2, men antog att detta var vertikala asymptoter. Teckentabellen gav också att innan x=-1 ska grafen gå upp, och sedan ner. Och innan x=1 ska den gå ner, sedan upp. 

Det ritat med blyerts är min tolkning. Facit har samma utseende som min mellan -1<x<1, men är vänd på de andra sidorna. Varför?