Rita grafen till kurvan f(x)=(x^2-|x-2|)/(x+1)
Uppgift: Undersök lokala och globala extrempunkter, konvexitetsegenskaper och asymptoter till kurvan f(x)=(x^2-|x-2|)/(x+1) samt rita grafen.
Jag kommer få två fall, x>2 och x<2.
När x>2 så får jag:
f(x) = (x^2-x+2)/(x+1)
Vertikal asymptot: y=-1
Sned asymptot: y=x-2
f'(x) = 1-4/(x+1)^2 . När jag undersöker kritiska punkter för f'(x) = 0 får jag x=1 och x=-3. Men dessa inte ingår i intervallen x>2.
När x<2 får jag:
f(x)=(x^2+x-2)/(x+1)
Sned asymptot: y=x
f'(x)= 1+2/(x+1)^2. När jag undersöker kritiska punkter för f'(x) = 0 får jag att x∉R.
Jag vet inte hur jag ska rita grafen och hur kommer min tabell se ut?
Eftersom kurvan inte har kritiska punkter, innebär det att den heller inte har max och min punkter?
Du vet att du har en lodrät asymptot x = -1. Du vet att om x > -1 så är derivatan negativ för alla x (eller har du undersökt hur det är för -1 < x < 2?). Beräkna f(x) för -½, 0, 1, 2 och 10, exempelvis. Pricka in punkterna i ett koordinatsystem. Behöver du fler punkter?
Om x < -1 så är derivatan positiv för alla x. Beräkna f(x) för några lämpliga x-värden och pricka in dem. Behöver du fler värden?
Om du behöver mer hjälp, så lägg in din bild och fråga igen.
Vad är derivatorna för x = 2?
Tack för tipsen, jag har lyckats rita grafen. Hur hittar jag lokala och globala extrempunkter, samt konvexitetsegenskaper?
Hur brukar du göra för att hitta lokala och globala extrempunkter?
Jag sätter derivatan lika med 0.
När x>2: f'(x)=1-4/(x+1)^2
f'(x)=1-4/(x+1)^2=0
⇔ x^2+2x-3=0
⇔(x+1)^2=4
⇔x+1=± 2
⇒x_1=2-1=1
⇒x_2=(-2)-1=-3.
x_1=1 och x_2=-3 ingår ej i intervallen x≥2. Därmed finns det inga kritiska punkter.
När x<2: f'(x)= 1+2/(x+1)^2
f'(x)= 1+2/(x+1)^2=0
⇔ x^2+2x+3=0
⇔ (x+1)^2=-2.
x∉R.
Hur ska jag göra, jag får inga kritiska punkter som jag kan undersöka?
Ska jag undersöka andraderivatan och stoppa in värdet där ekvationen inte är deriverbar, dvs när x=2.
Då får jag att:
När x>2: f''(x)= 8/(x+1)^3 .
8/(2+1)^3 >0 --> konvex, minimipunkt
när x<2: f''(x)= -4/(x+1)^3.
=-4/(2+1)^3<0 --> konkav, maximipunkt
Har jag tänkt rätt?
Laguna skrev:Vad är derivatorna för x = 2?
jag får att,
lim(x→2+)1-4/(x+1)^2 = 5/9
lim(x→2-)1+2/(x+1)^2 =11/9
Smaragdalena skrev:Du vet att du har en lodrät asymptot x = -1. Du vet att om x > -1 så är derivatan negativ för alla x (eller har du undersökt hur det är för -1 < x < 2?). Beräkna f(x) för -½, 0, 1, 2 och 10, exempelvis. Pricka in punkterna i ett koordinatsystem. Behöver du fler punkter?
Om x < -1 så är derivatan positiv för alla x. Beräkna f(x) för några lämpliga x-värden och pricka in dem. Behöver du fler värden?
Om du behöver mer hjälp, så lägg in din bild och fråga igen.
Eftersom jag har två olika fall ger det mig två olika dervator. Vilken derivata ska jag undersöka?
