Rinnande vatten med differentialekvationer

Ett Kärl innehåller 10 liter vatten och är fyllt så om någon mer vätska fylls på så rinner överskottet över kanten. Från en behållare häller man mycket sakta i ett färgämne som snabbt löser sig i vattnetn. För att hitta rätt blandning hälls färgämnet i med hastighet 2,0 liter/min från början. Sedan häller man i färgämnet med avtagande hastighet till inget hälls i alls. Hastigheten minsak linjärt under 10 min. Teckna en differentialekvation som beskriver hur stor mängd färgämne som finns i tanken under de tio minutrarna.

Jag vet att man ska räkna y'=y'in-y'ut men jag har problem med att fatta hur man ska komma på det som rinner ut och in eftersom man ska också få in y(t)?

Tack för hjälpen i förhand!

Börja med $y_{i n}'$ .

I uppgiften står att $y_{i n}' = 2 l i t e r / m i n$ vid $t = 0$ och minskar linjärt till $y_{i n}' = 0$ vid $t = 10$ . Hur beskriver man en sådan funktion matematiskt?

y=kx + m

y(0)= m = 2

y(10) = 10k+2=0

k= -0,2

y-in= -0,2x + 2

ok tack! nu har jag y-in hur får jag y-ut?

Du vet att det rinner ut vätska med samma hastighet som det rinner in färgämne. Men koncentrationen färgämne i vätskan i kärlet, som rinner ut, är inte 100%, utan en annan koncentration.

(Man får anta att det blandas ordentligt)

Koncentrationen av färgämne i kärlet kan skrivas $\frac{m ä n g d f ä r g ä m n e}{m ä n g d v a t t e n}$ , och om du vet att det alltid är 10l vätska i kärlet, vad blir då koncentrationen färgämne?

Blir det 2y(t)/10 ? då mängd färgämne ändras beroende på tid förändring? :/

Nä, mängden färgämne i kärlet är det vi kallar $y$ .

Du beräknade $y_{i n}' = 2 - 0.2 t$ . Då är flödet av den vätska som rinner ut, lika stort (eftersom mängden vätska i kärlet är konstant 10l).

Men utflödet av färgämne måste vara $y_{u t}' = c_{v ä t s k a} \cdot (2 - 0.2 t)$ , där $c_{v ä t s k a} = \frac{m ä n g d f ä r g ä m n e i k ä r l e t}{m ä n g d v a t t e n i k ä r l e t} = \frac{y}{?}$

Vad är mängden vatten i kärlet?

JohanF skrev:
Nä, mängden färgämne i kärlet är det vi kallar $y$ .

Du beräknade $y_{i n}' = 2 - 0.2 t$ . Då är flödet av den vätska som rinner ut, lika stort (eftersom mängden vätska i kärlet är konstant 10l).

Men utflödet av färgämne måste vara $y_{u t}' = c_{v ä t s k a} \cdot (2 - 0.2 t)$ , där $c_{v ä t s k a} = \frac{m ä n g d f ä r g ä m n e i k ä r l e t}{m ä n g d v a t t e n i k ä r l e t} = \frac{y}{?}$

Vad är mängden vatten i kärlet?

Sorry! Varför skriver jag mängden vatten i nämnaren! Jag menar ju mängden vätska!

10 - y ? 🥺

aah ok 10 då eller ?

Loma skrev:
10 - y ? 🥺

Kolla min korrigering av mig själv... sorry

Loma skrev:
aah ok 10 då eller ?

Ja, det låter bättre...

Tack så mycket! Nu förstår jag. 👍

Svara

Visa senaste svar