9 svar

355 visningar

Fysiker90 behöver inte mer hjälp

Ring på horisontell rotations axel, vinkelhastighet och kraften F

Hejsan!

Jag har följande uppgift där jag har beräknat vinkelhastigheten men förstår inte riktigt hur jag ska komma vidare till att beräkna kraften och dess riktning.

En ring är upphängd i en horisontell axel som löper genom ringens utkant, ringen kan rotera friktionsfritt i sitt vertikalplan. Den har en massa M och radie R.

a)Vilken är den minsta vinkelhastighet ringen måste ges i det nedersta läget för att den ska komma runt ett helt varv?

b) Med vinkelhastigheten från a) i det nedersta läget, samt att ringen tar sig precis över rotations axel och sedan börjar rotera. Hur stor är då kraften som verkar från axeln på ringen i det ögonblick ringen passerar det nedersta läget?

c) Med samma vinkelhastighet, hur stor är kraften som verkar från axeln, och hur är den riktad, i det
ögonblick ringen befinner sig precis halvvägs upp eller ner (dvs. när ringens centrum befinner sig i höjd med axeln)?

Min lösning: Valt att använda steiner's sats (parallellaxelteoremet) för att beräkna vinkelhastigheten i det nedersta läget.

$I = I_{C M} + M R^{2} = M R^{2} + M R^{2} = 2 M R^{2}$ (där tröghetsmomentet kan approximeras till $I_{C M} = M R^{2}$ )

Antar att den mekaniska energin är bevarad, vilket ger

energin i nedersta läget: $\frac{I {ω^{2}}_{n}}{2}$

energin i översta läget: $\frac{I {ω^{2}}_{ö}}{2} + M g 2 R$

Som sedan sätts lika med varandra för att lösa ut ${ω^{2}}_{n}$ .

För att ringen precis ska ta sig över rotationsaxeln så är ${ω^{2}}_{ö} \approx 0$ .

Då blir mekaniska energins bevarande: $\frac{I {ω^{2}}_{n}}{2} = \frac{I {ω^{2}}_{ö}}{2} + M g 2 R \to \frac{I {ω^{2}}_{n}}{2} = M g 2 R$ , $I$ känt sedan tidigare och sätts in $\to \frac{2 M R^{2} {ω^{2}}_{n}}{2} = M g 2 R \to R^{2} {ω^{2}}_{n} = 2 g R \to {ω^{2}}_{n} = \frac{2 g R}{R^{2}} \to ω_{n} = \sqrt{\frac{2 g}{R}}$

Så jag förstår inte riktigt hur jag nu ska gå vidare med fråga b) och c).

På rak arm i b) tänker jag mig att jag sätter in $ω_{n}$ nu i $\frac{I {ω^{2}}_{n}}{2}$ som då ger: $\frac{2 M R^{2} {(\sqrt{\frac{2 g}{R}})}^{2}}{2} = M R^{2} \times \frac{2 g}{R} = 2 M g R$

med riktning nedåt när ringen är i nedersta läget. Men är detta en kraft? känner mig lite förrvirad här. Försöker se ett samband till kraften $F = M a$ .

P.S. har tittat lite den andra upgiften i denna tråd för idéer https://www.pluggakuten.se/trad/mekanik-2-bestam-hastigheten-vg-hos-cylinderns-massscentrum-g-i-den-lagsta-punkten-pa-cylinderytan/?#post-54e0eb02-e25a-4f3d-98b7-ab3b012eb1dd

Tips och eller lösningförslag välkomnas.

Tack på förhand!

F_res = Ma_CM.

F_res = Mg + F_axel.

Kan det vara en början?

Du har enkelt att när ett objekt roterar kring en fast punkt kan kraftresponsen i fästpunkten formuleras från följande ekvationer:

$\sum F_t = ma_t$

$\sum F_n = ma_n$

Här vet vi sedan tidigare att accelerationer i naturliga koordinater ges av:

$a_t = r\alpha$

$a_n = r\omega^2$

Där vi får vinkelaccelerationen från förändringen av rörelsemängdsmomentet eller:

$\sum M = I \alpha$

Ebola skrev:
Du har enkelt att när ett objekt roterar kring en fast punkt kan kraftresponsen i fästpunkten formuleras från följande ekvationer:

$\sum F_t = ma_t$

$\sum F_n = ma_n$

Här vet vi sedan tidigare att accelerationer i naturliga koordinater ges av:

$a_t = r\alpha$

$a_n = r\omega^2$

Där vi får vinkelaccelerationen från förändringen av rörelsemängdsmomentet eller:

$\sum M = I \alpha$

Tack för tipset!

Med utgång från detta tänker jag följande:

$\sum M = I α \to α = \frac{\sum M}{I}$ där $\sum M = M g R, I = M R^{2}$ vilket då ger $α = \frac{\sum M}{I} = \frac{M g R}{M R^{2}} = \frac{g}{R}$ m.a.p. avståndet till ringens mitt som är relevant. (stämmer det)?

Sedan sätta in $α$ i $a_{t} = R α \to a_{t} = R g / R = g$ samt

$a_{n} = R {(\sqrt{\frac{2 g}{R}})}^{2} \to R \frac{2 g}{R} = 2 g$ som då senare ger

$\sum F_{t} = m g$
$\sum F_{n} = 2 m g$
om ringen roterar medurs runt rotationsaxeln så tänker jag mig att i fråga b) är kraften $\sum F_{t}$ riktad åt vänster samt $\sum F_{n}$ riktad uppåt:

med motiveringen: $\sum F_{n}$ är den radiella komonenten och den är riktad mot rotationsaxeln (brukar skriva den som $a_{r a d}, F_{r a d}$ )

Har jag förståt det rätt eller är jag helt ute och cyklar?

Fysiker90 skrev:
där $\sum M = M g R$

Detta stämmer enbart i uppgift c). Tänk på att det är summa moment kring rotationsaxeln som söks. Vi har följande kraftstituation i b):

Alltså har vi att $\displaystyle \sum M = 0$ kring rotationsaxeln eftersom hävarmen för tyngdkraften är lika med noll. Detta leder sedan till att $\alpha = 0$ .

Hur ser kraftsituationen ut i c)?

...om ringen roterar medurs runt rotationsaxeln så tänker jag mig att i fråga b) är kraften $\sum F_{t}$ riktad åt vänster samt $\sum F_{n}$ riktad uppåt:

Mycket riktigt har vi sådana riktningar på resulterande krafter som påverkar ringens masscentrum i n-t-systemet. Vi vet från det jag skrev ovan att $\alpha = 0$ i b) vilket ger:

$\displaystyle \overset{+}{\leftarrow} \sum F_t = mR\alpha : R_x = 0$

Alltså har vi enbart en resulterande kraft i vertikal led och med riktning uppåt som positiv får vi:

$\displaystyle \overset{+}{\uparrow} \sum F_n = 2mg : R_y - mg = 2mg \Leftrightarrow R_y = 3mg$

Ebola skrev:
Hur ser kraftsituationen ut i c)?

Jag föreställer mig att det ser ut såhär:

Försökt till förståelse av krafterna:

Där riktningen på : $↑ \sum_{} F_{t} = m g$

För $\to \sum F_{n}$ är jag mer osäker. Känner jag vinkeln borde komma med i uttrycket.

Fysiker90 skrev:
Jag föreställer mig att det ser ut såhär:

Helt korrekt. Vilken riktning och storlek har vinkelaccelerationen? Vad är vinkelhastigheten?

Försökt till förståelse av krafterna:

Där riktningen på : $↑ \sum_{} F_{t} = m g$

Summa krafter uppåt blir:

$\displaystyle \overset{+}{\uparrow} \sum F_t = R_y - mg = m R\alpha$

Här är vi noggranna med att förstå att $\alpha$ ovan enbart är positiv i uttrycket om vinkelaccelerationen har riktning medurs.

För $\to \sum F_{n}$ är jag mer osäker. Känner jag vinkeln borde komma med i uttrycket.

Uttrycket för resultanten är som vanligt men vinkelhastigheten är en funktion av vinkeln (precis som vinkelaccelerationen). Jag skulle förslagsvis använda följande kinematiska samband när du tagit fram ett uttryck för vinkelaccelerationen:

$\left.\begin{array}{r}\dfrac{d\theta}{dt}=\omega\\\dfrac{d\omega}{dt} = \alpha\end{array}\right\}\xrightarrow[{ur\;båda\;ekv}]{Lös\;ut\;dt}\boxed{ \ \underset{}{ \overset{}{\omega d\omega = \alpha d \theta}} \ }$

Du kan då integrera mellan $\theta = 0$ och $\theta = \pi/2$ från nedersta läge till halvvägs upp för att ta fram vad vinkelhastigheten är där.

Tillägg: 20 jan 2022 22:23

Du kan också så klart använda energi för att ta fram vinkelhastigheten.

Helt korrekt. Vilken riktning och storlek har vinkelaccelerationen? Vad är vinkelhastigheten?

riktning positivt $R_{y}$ led.

Summa krafter uppåt blir:

↑+∑Ft=Ry-mg=mRα

Här är vi noggranna med att förstå att α ovan enbart är positiv i uttrycket om vinkelaccelerationen har riktning medurs.

Denna kraft blir då: $R_{y} - m g = m R α \to R_{y} - m g = m g \to R_{y} = 2 m g$

Uttrycket för resultanten är som vanligt men vinkelhastigheten är en funktion av vinkeln (precis som vinkelaccelerationen). Jag skulle förslagsvis använda följande kinematiska samband när du tagit fram ett uttryck för vinkelaccelerationen:

$\begin{array}{r} \frac{d θ}{d t} = ω \\ \frac{d ω}{d t} = α \end{array}\} \to_{u r b å d a e k v}^{L ö s u t d t} {ω d ω = α d θ}_{}^{}$

Du kan då integrera mellan $θ = 0$ och $θ = π / 2$ från nedersta läge till halvvägs upp för att ta fram vad vinkelhastigheten är där.

I fråga c) frågar de inte efter vinkelhastigheten i den punkten så jag har lite svårt att se hur det är relevant. Här är ett försök på det ändå:

${ω d ω = α d θ \to}_{}^{} \int_{ω_{i}}^{ω_{f}} ω d ω = \int_{0}^{θ} α d θ \to \frac{{ω^{2}}_{f} - {ω^{2}}_{i}}{2} = α θ \to {ω^{2}}_{f} - {ω^{2}}_{i} = 2 α θ$ , löser för ${ω^{}}_{f}$ : ${ω^{2}}_{f} - {ω^{2}}_{i} = 2 α θ \to {ω^{}}_{f} = \sqrt{2 α θ - {ω^{2}}_{i}}$
Är det tanken här att sätta in vad $ω, α, θ$ är här då? (provade och det blev inte något vettigt).

Riktiningen för denna kraft borde vara i positivt $R_{x}$ -led

Du behöver veta vinkelhastigheten därför att denna ger sedan resultanten i n-led...

Vinkelaccelerationen är riktad moturs vilket du kan få fram från:

$\displaystyle \sum M = I \alpha$

Där vet du att summa moment är från tyngdkraften och den är riktad moturs. Således är vinkelaccelerationen också riktad moturs. Du kan också försöka tänka intuitivt att reaktionskraftens vertikala komposant borde vara riktad nedåt.

Fysiker90 skrev:
löser för ${ω^{}}_{f}$ : ${ω^{2}}_{f} - {ω^{2}}_{i} = 2 α θ \to {ω^{}}_{f} = \sqrt{2 α θ - {ω^{2}}_{i}}$

Här har du knasat till det. Det ska bli:

$\omega_f^2 - \omega_i^2 = 2\alpha \theta \rightarrow \omega_f = \sqrt{2\alpha\theta + \omega_i^2}$

Är det tanken här att sätta in vad $ω, α, θ$ är här då? (provade och det blev inte något vettigt).

Japp, för att bestämma kraften i n-led behöver du veta $\omega_f$ . Prova nu med det korrekta uttrycket.

Riktiningen för denna kraft borde vara i positivt $R_{x}$ -led

Ja, exakt, $\displaystyle \sum F_n$ är en centripetalkraft och därför riktad rakt mot rotationscentrum.

Svara

Visa senaste svar