Ring/kategoriteori: polynomringar (Matematik/Universitet)

Det var en sketch på matematikrevyn i Köpenhamn för några år sedan om att många matematikstudenter är skamligt dåliga på vanlig aritmetik (och smått livrädda för att bli avslöjdade med detta i vardagliga sammanhang), och att det enda vi kan räkna på är kohomologi mod 2... och kohomologi mod 2 är faktiskt precis vad den här memen handlar om! ^_^

Tyvärr är memen lite slarvigt gjord, med helt osammanhängande ledtrådar och en liten felskrivning i den exakta följden...

Men de menar alltså följande:

🍇 = $1$

🍪 = $2$

🥪 = $\mathbb{Z}$

🍔 = $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ är heltalen mod 2.

🌭 = $P^n(\mathbb{R})$ (oftare skrivet som $\mathbb{RP}^n$ ) är det projektiva rummet, som kan förstås som mängden av alla linjer i $\mathbb{R}^{n+1}$ som passerar origio, topologiserad genom att deklarera att en mängd av linjer är öpppen om och endast om linjernas union bildar en öppen mängd i $R^{n+1}$ .

Låt $X$ vara ett topologiskt rum och låt $G$ vara en abelsk grupp. Då kan vi bilda en följd $H^k(X;G)$ för $k\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ av så kallade kohomologigrupper för $X$ med koefficienter i $G$ . Var och en av dessa abelska grupper är en topologisk invariant, i bemärkelsen att om två topologiska rum $X$ och $Y$ är homeomorfa (eller mildare: homotopiekvivalenta), så kommer $H^k(X;G)\cong H^k(Y;G)$ att gälla. En enkel tillämpning av kohomologi är därför att skilja topologiska rum åt (det är enklare att visa att två grupper inte är isomorfa än att direkt visa att två rum inte är homotopiekvivalenta), men kohomologi innehåller också en hel del annan värdefull information om t.ex. orienterbarhet och vektorfält, vilket du får lära dig mer om om du läser kurser i algebraisk topologi och differentialtopologi.

En cool sak med kohomologigrupperna associerade till ett topologiskt rum (som man inte kan göra med de besläktade men något mindre komplicerade homologigrupperna) är att om man tar den direkta summan av allihop:

$H^*(X;G)=\oplus_{k=0}^\infty H^k(X;G)$

så kan man utrusta den resulterande abelska gruppen med en multiplikation $\smile\colon H^*(X;G)\times H^*(X;G)\to H^{*}(X;G)$ som kallas för cup-produkten och som gör hela grejen till en (graderad) ring, kallad kohomologiringen med koefficienter i $G$ . Detta är i sig en topologisk invariant, som är starkare än kohomologigrupperna var för sig, i bemärkelsen att om $X$ och $Y$ är homotopiekvivalenta så är $H^*(X;G)\cong H^*(Y;G)$ inte bara som abelska grupper utan även som ringar.

Uppgiften i memen går ut på att bestämma $H^*(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ . Det är en klassisk uppgift i en (andra kurs i) algebraisk topologi, och är en ganska lång historia. Men svaret är enkelt: det visar sig att den sökta kohomologiringen är isomorf med ringen $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]/(x^{n+1})$ (polynom med koefficienter i $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , där vi har infört relationen att $x^{n+1}=0$ ).

Som en ledtråd tipsar de om att vi kan använda att kohomologigrupperna är relaterade till de mer lättbegripliga homologigruppperna genom den så kallade universella koefficientsatsen, som säger att vi har en exakt följd

$0\longrightarrow \mathrm{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(H_{i-1}(X;\mathbb{Z}),G)\longrightarrow H^i(X;G)\longrightarrow \mathrm{Hom}(H_i(X;\mathbb{Z}),G)\longrightarrow 0\,,$

men tyvärr verkar memeskaparen ha blandat ihop vilken roll $G$ och $\mathbb{Z}$ spelar på ett ganska knasigt sätt. Utifrån dina andra trådar så verkar du ha stött på vad exakta följder är, så jag antar att det inte behöver förklaras närmare. Vad jag däremot kan nämna att just så kallade korta exakta följder på formen

$0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$

är extra trevliga, eftersom de ger väldigt mycket information om vad $B$ är i termer av $A$ och $C$ . Det är en typiskt sådan grej man lär sig mer om i homologisk algebra.

Pizzan är inte så mystisk, men lite konstigt förklarad i memetexten; de menar helt enkelt att 🍕 $(A,B) = \mathrm{Hom}(A,B)$ , dvs. mängden av alla grupphomomorfier mellan två abelska grupper $A$ och $B$ , som i sin tur är en abelsk grupp. Om man vill förtydliga att man menar grupphomomorfier (och inte morfier i någon annan kategori) kan man skriva $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(A,B)$ .

Om vi fixerar $B$ så får vi en så kallad kontravariant funktor $\mathrm{Hom}(-,B)$ , definierad genom att vi låter varje grupphomomorfi $\varphi\colon A\to A'$ inducera en grupphomomorfi $\varphi^*\colon\mathrm{Hom}(A',B)\to \mathrm{Hom}(A,B)$ med $f\mapsto f\circ\varphi$ . Ordet 'kontravariant' syftar här på att funktorn byter håll på pilar - om detta har något att göra med fysikernas mystiska terminologi för att beskriva tensorer vet jag faktiskt inte.

Vidare är 🍌 den (högra) härledda funktorn till den här kontravarianta Hom-funktorn, vilket är vad man kallar för Ext-funktorn. Att lära sig beräkna Ext är en vanlig sak att lära sig i en första kurs i homologisk algebra.

Mmm! Jag råkade komma i kontakt med (ko)homologi när jag utforskade tensorer och differentialgeometri, faktiskt inte för att förstå denna meme, men nu vet jag i alla fall vad en följd är. Trevligt sammanträffande. Det finns en doktorandkurs på KTH som jag haft i bakhuvudet länge för att den hade ett så coolt och specifikt namn: étale cohomology (enda andra kursen jag sett med någons efternamn i är Galoisteori, och tror jag, de Rham cohomology). Det du sagt om oväntade sammanflätningar tror jag jag ser mer och mer och det är så coolt.

Jag låter din förklaring här marinera ett tag, den är för svår för mig, en lättare förklaring känner jag hade fyllt samma längder som mina forumlekar hehe. Jag vet för lite abstrakt algebra.

Det här är en aning överkurs utifrån där du befinner dig just nu, så det låter klokt att sätta den här tråden på paus och återkomma någon gång i framtiden.

Vill du förstå kohomoloigi för mångfalder (och topologiska rum generellt) så finns det två ingångar.

Det ena är att läsa algebraisk topologi med fokus på först singulär homologi (kapitel 2 i Hatchers klassiska bok) och sedan singulär kohomologi (kapitel 3 i Hatchers bok). Parallellt med detta behövs en del homologisk algebra, som du antingen kan snappa upp ihop med topologin (brukar finnas insprängt i de flesta topologiböcker), eller genom någon mer specialiserad bok (t.ex. denna av Rotman eller kapitel IX i Aluffis underbara algebrabok). Det finns också en väldigt trevlig föreläsningsserie om algebraisk topologi av Albin på Youtube som är värd att kolla in.

Det andra är att läsa differentialtopologi, dvs. mer om vektorfält och så kallade differentierbara former på mångfalder. Till slut kommer detta ta dig till de Rahm-kohomologi, vilket visar sig vara intimt sammankopplat (rent av isomorft!) med singulär kohomologi, som är det memen handlar om (i vart fall om vi jobbar med släta mångfalder och sätter $G=\mathbb{R}$ ). En bra lärobok i den här riktningen är denna av Lee. Jag kan även varmt rekommendera den här föreläsningsserien av Schuller, och de här sidorna på svenska av Källén.

Det sistnämnda spåret ligger lite närmare dina övriga intressen om tensorer, men båda de här spåren är i princip möjliga att börja nosa lite på redan nu. Men - de leder snabbt in på ganska avancerad matematik, så det är verkligen ingen stress att börja med det nu! Livet är (förhoppningsvis) långt, och du kommer ha gott tid att utforska de här sakerna senare i din utbildning om dina intressen tar dig hitåt.

Étalekohomologi är ett rejält snäpp upp i abstraktionsnivå. Lite vagt kan man säga att det är ett försök att anpassa den algebraiska topologins singulära kohomologi och differentialtopologins de Rahm-kohomologi till den algebraiska geometrins värld. Detta har visat sig vara en fantastisk framgångssaga (som bland annat används för att bevisa Weil-förmodandena!), och étalekohomologi är numera ett helt centralt redskap i modern algebraisk geometri. Tyvärr ligger detta en bra bit utanför min matematiska comfort zone, så har nog inte så mycket mer vettigt att säga (men det är en liten dröm att någon gång lära mig åtminstone lite grundläggande étale-grejer, så vi kan kanske återkomma till detta om ett par år ;-) ).

Vill man lära sig étalekohomologi skulle jag tro att det är en bra idé att ha koll på singulär kohomologi (om inte annat för motivation) och en hel del homologisk algebra (t.ex. härledda funktorer), och samtidigt lära sig kommutativ algebra, klassisk algebraisk geometri (varietéer), och modern algebraisk geometri (kärvar och scheman). Gathmanns föreläsningsanteckningar kan vara en bra start! Rent allmänt kan jag även rekommendera Chens Napkin, för korta men samtidigt relativt pedagogiska och insiktsfulla introduktioner till homologisk algebra, algebraisk topologi och algebraisk geometri, i fall du vill få en lite känsla för vad allt detta handlar om!

Och så var det det här ordet "étale", som faktiskt inte är ett namn! Jag kan inte franska, men enligt den här förklaringen på Milnes hemsida, så verkar det vara ett lite vagt poetiskt ord som Grothendieck valde när han introducerade de här koncepten på 60-talet:

oggih skrev:
vektorfält och så kallade differentierbara former på mångfalder.

Ja!!!

Ja, dit vill jag definitivt gå. Ibland känns det som att det inte är jag som styr vad jag utforskar. Jag tar bara det jag tycker är kul för stunden, och på sistone har mina intressen blivit färre, mindre spretiga...

singulär kohomologi (om inte annat för motivation) och en hel del homologisk algebra (t.ex. härledda funktorer), och samtidigt lära sig kommutativ algebra, klassisk algebraisk geometri (varietéer), och modern algebraisk geometri (kärvar och scheman)

Alla dessa nyckelord har jag sett som kursnamn på masternivå på KTH, på tal om det du sa i andra tråden.

Tack för dina länkar. Jag använder googletricket "site:pluggakuten ... " flitigt, jag lär komma tillbaka till detta.

Om du redan nu vill få en liten känsla för vad (singular) homologi och (de Rahm-)kohomologi handlar om kan du kolla in det här youtube-klippet på kanalen Aleph 0. Det är vagt och ganska rejält handwavy, men jag tycker han gör ett bra jobb med att förklara den övergripande idén i termer av saker som de flesta matematikstudenter redan ser sitt första år: vektorrum, linjära avbildningar, kvotrum, derivator, vektorfält, divergens, rotation med mera.

Ett bra ställe att börja på den dagen du känner dig redo att försöka förstå dig på detaljerna för hur mångfalder, vektorfält, differentierbara former och de Rahm-kohomologi fungerar är Anders Källéns pågående projekt Analys 360, t.ex. dessa två sidor:

http://www.ctr.maths.lu.se/matematiklth/personal/andersk/webbok/DifferentialTopologi/Manifolds.html

http://www.ctr.maths.lu.se/matematiklth/personal/andersk/webbok/DifferentialTopologi/Vektorfaltochfloden.html

http://www.ctr.maths.lu.se/matematiklth/personal/andersk/webbok/DifferentialFormer/DifferentialformerinRn.html

http://www.ctr.maths.lu.se/matematiklth/personal/andersk/webbok/DifferentialFormer/SlutnaochExaktaformer.html

Tack!

Jag har sett den youtubevideon! Ja, väldigt handwavy.