Riktningsfält
Hur ska man tänka kring den här typen av uppgifter där man ska matcha saker och ting med rätt riktningsfält. Om det var ett uttryck givet kunde jag testa med teckentabell och insättning av olika värden osv men hur gör man när man har ett linjärt system, eller typ dx/dt = sin(x), dy/dt = cos(y), matcha med rätt riktningsfält?
Bilden nedan är för linjärt system. Jag tog hänsyn till ledningen och räknade fram egenvärden
1. lambda1= 0 lambda2= 3
2. lambda1= 2 lambda2= -2
3.lambda1= 4 lambda2= 2
4. lambda1= 2 lambda2= -2
När jag får två likadana lambda värden, vad mer kan jag välja att undersöka för att se vilken av dessa två som tillhör vilken figur?
Tacksam för svar.
Ta fram egenvektorerna också, i en riktning som motsvarar en egenvektor med negativt egenvärde kommer pilarna i vektorfältet att peka in mot origo och vice versa. Tex fall 1 så har vektorn (1, -2) egenvärde 0 vilket du ser i D på att längs linjen med lutning -2 (multiplar av egenvektorn) så är riktningsfältet 0-vektorn.
dioid skrev:Ta fram egenvektorerna också, i en riktning som motsvarar en egenvektor med negativt egenvärde kommer pilarna i vektorfältet att peka in mot origo och vice versa. Tex fall 1 så har vektorn (1, -2) egenvärde 0 vilket du ser i D på att längs linjen med lutning -2 (multiplar av egenvektorn) så är riktningsfältet 0-vektorn.
Tack! Hur funkar det för den andra typen av problem det med sin och cos vet du det?
Insåg nu efterhand att jag inte riktigt förstod din förklaring på varför tex. 1 matchade med D. Jag fick en annan egenvektor också x+y/2=0 --> x=-y/2 --> [1, -1/2] = [2,-1]...
men oavsett så hängde jag inte riktig med, ser inte det du ser med det om att "längs linjen med lutning -2 är riktningsfältet 0". Har du lust att förklara det?
Den andra problemet vet jag inte riktigt, man kan förstås linearisera kring någon punkt och göra motsvarande analys i en omgivning kring den, men problemet är att man kan behöva linearisera kring flera punkter för att känna igen vektorfältet. Det kanske finns något smartare sätt.
Testa att multiplicera matrisen med den egenvektor du kommit fram till så ser du om det är rätt eller inte. Om jag tar matrisen i 1 och multiplicerar med (2, -1) får jag (3,3) som inte är en multipel av (2, -1), alltså är (2, -1) inte en egenvektor. Jag tror du tänkte fel i sista steget, om x = -y/2 så får du med y = -2 att x = 1, dvs (1, -2).
Du ser längs (och nära) linjen (x,y) = t*(1,-2) att vektorerna är så små att det blir ett vitt "band" i D.
Prova helt enkelt med x = (1,1) och se vart x' pekar. Och sen i de tre övriga kvadranterna.
Om du behöver mer info kan du även testa punkter på koordinataxlarna (1, 0), (0, 1) osv, eller punkter längre bort (2, 2) osv.
Laguna skrev:Prova helt enkelt med x = (1,1) och se vart x' pekar. Och sen i de tre övriga kvadranterna.
Jo, brukar köra så i vanliga fall men nu är koordinataxlarna graderade mellan -2,2 och många pilar är små/prickar så när jag kör så får jag svar där "alla" liknar varandra
dioid skrev:Den andra problemet vet jag inte riktigt, man kan förstås linearisera kring någon punkt och göra motsvarande analys i en omgivning kring den, men problemet är att man kan behöva linearisera kring flera punkter för att känna igen vektorfältet. Det kanske finns något smartare sätt.
Testa att multiplicera matrisen med den egenvektor du kommit fram till så ser du om det är rätt eller inte. Om jag tar matrisen i 1 och multiplicerar med (2, -1) får jag (3,3) som inte är en multipel av (2, -1), alltså är (2, -1) inte en egenvektor. Jag tror du tänkte fel i sista steget, om x = -y/2 så får du med y = -2 att x = 1, dvs (1, -2).
Du ser längs (och nära) linjen (x,y) = t*(1,-2) att vektorerna är så små att det blir ett vitt "band" i D.
Tack, nu blev det rätt med egenvektorerna
