riktningsfält

Hej,

Låt oss först reda ut hur en lösningsfunktion till differentialekvationen är uppbyggd, eftersom du använder beteckningar $y^{\text{'}}(0;10.01)$ och $y^{\text{'}}(0,10)$ som inte har någon mening i den här uppgiften. Genom att skriva som du gör så tror man att y är en funktion som beror på två variabler varav den ena variabeln är 0, och den andra variabeln är ungefär 10. Så är det inte.

Från uppgifttexten kan man se att lösningsfunktionen $y$ beror av _en_ variabel. Vi kan låtsas att det är tiden $t$ (eftersom det inte står i uppgiften vad variabeln heter så kan vi ta oss den friheten. Men det skulle lika gärna kunna vara en variabel x, eller någon annan variabel), dvs lösningsfunktionen kan betecknas $y\left(t\right)$, där $y$ förändras med tiden. Det är viktigt att förstå, eftersom man i uppgiften också ska rita ett riktningsfält, vilket alltså är ett riktningsfält i $y-t-planet$.

$y\left(0\right)=10$ som det står i uppgifttexten, betyder att funktionsvärdet är 10 vid tiden $t=0$. Facit räknar ut att om $y\left(0\right)=10$ så blir $y\text{'}\left(0\right)=0$, dvs att funktionsvärdet då inte kommer att ändra sig med tiden. Detta betyder att funktionsvärdet kommer att förbli 10 för alla värden på tiden.

Hänger du med? 

JohanF skrev:

Hej,

Låt oss först reda ut hur en lösningsfunktion till differentialekvationen är uppbyggd, eftersom du använder beteckningar $y^{\text{'}}(0;10.01)$ och $y^{\text{'}}(0,10)$ som inte har någon mening i den här uppgiften. Genom att skriva som du gör så tror man att y är en funktion som beror på två variabler varav den ena variabeln är 0, och den andra variabeln är ungefär 10. Så är det inte.

Från uppgifttexten kan man se att lösningsfunktionen $y$ beror av _en_ variabel. Vi kan låtsas att det är tiden $t$ (eftersom det inte står i uppgiften vad variabeln heter så kan vi ta oss den friheten. Men det skulle lika gärna kunna vara en variabel x, eller någon annan variabel), dvs lösningsfunktionen kan betecknas $y\left(t\right)$, där $y$ förändras med tiden. Det är viktigt att förstå, eftersom man i uppgiften också ska rita ett riktningsfält, vilket alltså är ett riktningsfält i $y-t-planet$.

$y\left(0\right)=10$ som det står i uppgifttexten, betyder att funktionsvärdet är 10 vid tiden $t=0$. Facit räknar ut att om $y\left(0\right)=10$ så blir $y\text{'}\left(0\right)=0$, dvs att funktionsvärdet då inte kommer att ändra sig med tiden. Detta betyder att funktionsvärdet kommer att förbli 10 för alla värden på tiden.

Hänger du med? 

tack du har förklarat så bra, det är bara en sak som är lite oklart,

vi räknade att om y(0)=10 blir y'(10)=0 eftersom y' beror av y som i sin tur beror av, låt oss kalla variabeln t. hur kan y'(0) =0? för det betyder väl att vi stoppar in y=0 i funktionen 

y'=(1-01y)(0,001y-1) och då ger det att y'=-1 eller? 

vi räknade att om y(0)=10 blir y'(10)=0 eftersom y' beror av y som i sin tur beror av, låt oss kalla variabeln t. hur kan y'(0) =0? för det betyder väl att vi stoppar in y=0 i funktionen

y'=(1-01y)(0,001y-1) och då ger det att y'=-1 eller?

Nej, vi vet ju att y(0) = 10 så det blir y'(0) = (1-0,1y)(0,001y-1) = (1-0,1^.10)(0,001^.10-1) = (1-1)(0,01-1) = 0

fysik3 skrev:

JohanF skrev:

Hej,

Låt oss först reda ut hur en lösningsfunktion till differentialekvationen är uppbyggd, eftersom du använder beteckningar $y^{\text{'}}(0;10.01)$ och $y^{\text{'}}(0,10)$ som inte har någon mening i den här uppgiften. Genom att skriva som du gör så tror man att y är en funktion som beror på två variabler varav den ena variabeln är 0, och den andra variabeln är ungefär 10. Så är det inte.

Från uppgifttexten kan man se att lösningsfunktionen $y$ beror av _en_ variabel. Vi kan låtsas att det är tiden $t$ (eftersom det inte står i uppgiften vad variabeln heter så kan vi ta oss den friheten. Men det skulle lika gärna kunna vara en variabel x, eller någon annan variabel), dvs lösningsfunktionen kan betecknas $y\left(t\right)$, där $y$ förändras med tiden. Det är viktigt att förstå, eftersom man i uppgiften också ska rita ett riktningsfält, vilket alltså är ett riktningsfält i $y-t-planet$.

$y\left(0\right)=10$ som det står i uppgifttexten, betyder att funktionsvärdet är 10 vid tiden $t=0$. Facit räknar ut att om $y\left(0\right)=10$ så blir $y\text{'}\left(0\right)=0$, dvs att funktionsvärdet då inte kommer att ändra sig med tiden. Detta betyder att funktionsvärdet kommer att förbli 10 för alla värden på tiden.

Hänger du med? 

tack du har förklarat så bra, det är bara en sak som är lite oklart,

vi räknade att om y(0)=10 blir y'(10)=0 eftersom y' beror av y som i sin tur beror av, låt oss kalla variabeln t. hur kan y'(0) =0? för det betyder väl att vi stoppar in y=0 i funktionen 

y'=(1-01y)(0,001y-1) och då ger det att y'=-1 eller? 

Det är lätt att blanda ihop vad som är vad i början. Skrivsättet $y\left(0\right)=10$ ska du jämföra med hur man på mattespråk betecknar en funktion $y$ som beror av $t$, dvs $y\left(t\right)$.

Då ser du att t'et är ersatt med en nolla och funktionen y är lika med 10. Dvs funktionsvärdet y är lika med 10 när tiden är lika med noll. Eller på matematikspråket: $y\left(0\right)=10$

(Man kan även skriva det på andra sätt också, tex $y(t=0)=10$för att göra det tydligt att funktionen y beror av variabeln t som är lika med noll)

Hänger du med?