Riktningsfält
Hur går man tillväga för att lösa sånna uppgifter?
De kritiska punkterna är inritade i figurerna. Vilken eller vilka har samma kritiska punkter som diffekvationerna?
Okej! Så om vi gör om ekvationerna till och tar första figuren som har punkterna (-1,1), (0,0) och (1,1) vilket ger att alla tre punkter insatta i ekvationerna blir lika med 0. Detta ger att den första figuren är det korrekta riktningsfältet?
Varför utesluter du den som ligger precis under den första?
Hmm... nu blev det knepigt...den som ligger under har ju samma punkter! Skillnaden är ju egentligen bara att figurerna ser olika ut. Jag vet faktiskt inte...
Titta på flödeslinjerna i någon vald punkt, tex (1, 0). I den första figuren går flödeslinjen snett upp åt vänster. I den undre figuren går flödeslinjen snett upp åt höger. Vilket stämmer med ekvationerna?
Vad innebär det att linjerna går åt olika håll? Säger det något om ifall punkten är instabil/stabil/centrum/spiral?
Vilken riktning har vektorn i tex punkten (x, y) = (1, 0) - titta på ekvationerna som är givna?
Flödeslinjerna är i varje punkt parallella med vektorn i denna punkt. Så om flödeslinjen genom en punkt pekar i en viss riktning så skall vektorn peka åt samma håll.
Om man tar den punkten och sätter in den i x' och y' så får man x'=-1 och y=1. blir då både positiv och negativ...?
Om du skulle rita in den vektorn i punkten (1, 0), i vilken figur (av de två som tittar på) är denna vektor riktad längs med flödeslinjen genom punkten. I figur 1 så går flödeslinjen snett upp åt vänster i figur 2 går flödeslinjen snett upp åt höger. Hur är riktad?
Om y'=1 så känns det naturligt att linjerna går mot y-axlen, vilket innebär att är riktad åt det hållet. Eller är jag ute och cyklar nu?
Om en vektor har positiv y-komponent, vad säger det om vektorn? Att den är riktad mot y-axeln? Att den är riktad uppåt? Att den är riktad nedåt? Annat?
Nej. Vektorn är då riktad mot den punkten... eller går snarare igenom den punkten.
Om y-komponenten av en vektor är positiv så är vektorn riktad uppåt (om vi ritat y-axeln uppåt). Inte nödvändigtvis rakt upp, men du förstår.
Jaha, du menar så! Och i vårt fall så är y positivt och x negativt. Så om y pekar uppåt för att det är positivt så måste x bidra med att linjerna pekar inåt för att de är negativa, eller? Så om vårt x istället också vore positivt så skulle linjerna peka utåt som på andra figuren?!
Ja, så man inser att figur 1 verkar vara den rätta. Om det inte är en slamkrypare och ingen är rätt.
Aha, då förstår jag! tack så mycket för hjälpen! 😃
