Riktningsderivata - rätt?

Sökt: Riktningsderivatan
$f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 3 x$ mellan $(1, 1)$ och $(2, 3)$ .

Hur stark lutningen är i riktning $e$ .

$D_{e} f = \nabla f \cdot e$

$\nabla f = {\{2 x - 3, 2 y\}}_{(1, 1)}$

$e = \{\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\}$

$\nabla f_{(1, 1)} . e = \{- 1, 2\} . \{\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\}$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow (\frac{- 1}{\sqrt{5}}, \frac{4}{\sqrt{5}})$

Rätt? (är det nog). Men bör jag tänka på något eller förstå något (något som kanske underlättar vid lite tuffare riktningsderivator-sökningar)? Kan jag kontrollera svaret på något vis? (Minns inte vart jag fick uppgiften ifrån så kan inte se svaret)

Fast svaret bör väl ändå vara en skalär, och inte en vektor?

Du har skrivit upp rätt skalärprodukt, men på något sätt har du fått svaret till en vektor när det egentligen ska vara skalären $\frac{3}{\sqrt{5}}$ .

Något annat att fundera över med den här metoden är varför skalärprodukten mellan gradienten $\nabla f$ och riktningsvektorn $\mathfrak{e}$ ger lutningen i riktning $\mathfrak{e}$ .

Hehe ja ops bör såklart vara en skalär^^ tack!

Gradienten är lutningen precis som vanlig derivata. Svaret blir en vektornotation pekandes mot största/snabbaste ökning. Då vi vill ha lutningen (gradienten ger storlek på lutningen) i en viss specifik riktning får vi dirigera med enhetsvektorn som ger riktning utan förändrad värde i den skala/rate som krävs.

Skalärprodukten innebär då storleken mellan överlappade komposanter, dvs delen av gradienten som överlappar med enhetsvektorn/riktningen.

Inte så bekant med termerna men något sånt ^^

Ungefär så, ja.

Det som kan vara bra att komma ihåg är att geometriskt sett är $a\cdot b$ längden av projektionen av $a$ på $b$ multiplicerat med längden av $b$ .

Om då $b$ är en normerad vektor kommer skalärprodukten helt enkelt vara hur stor $a$ är om man lägger den i riktning av $b$ . Det är därför vi kan få reda på hur stor lutningen i riktning $\mathfrak{e}$ är genom att ta skalärprodukten av $\nabla f$ och $\mathfrak{e}$ .

Eftersom vad vi egentligen eftersöker är hur stor $\nabla f$ blir genom att lägga den i $\mathfrak{e}$ s riktning kan vi även använda oss av projektioner. Projektionen av $\nabla f$ på $\mathfrak{e}$ är ju nämligen $\nabla f$ fast i riktning av $\mathfrak{e}$ :

$D_{\mathfrak{e}}f=||\text{proj}_{\mathfrak{e}}(\nabla f)||=||\text{proj}_{(1,2)}((-1,2))||=$ $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$

Notera att vi med denna metod inte behöver normera $\mathfrak{e}$ eftersom det redan görs i projektionsformeln.

Anledningen till att man oftast inte gör på det här sättet är troligen att det är mycket enklare att beräkna en skalärprodukt jämfört med en projektion.

Waow, riktigt bra förklarat!! Denna sparar jag helt klart. Tack!

Lägger till lite länkar här med för den som vill (och för en eventuell tillbakablick). Dock har du sammanfattat hur bra som helst att länkarna knappt behövs ^^

1, 2, 3, 4, 5 (videon längre ner var rätt bra)

Svara

Visa senaste svar