Riemensumma envariabelsanalys

Vi vill skriva om serien som en integral $\int_{a}^{b}f(x)dx$. En kvalificerad gissning är ju att börja med att identifiera att $\frac{1}{n} = \Delta x$ är bredden på alla våra ''staplar'' i Riemannsumman. Eftersom vi antar att alla dessa staplar har samma bredd har vi $\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{1}{n}$ så $b-a=1$, d.v.s. längden på intervallet vi integrerar över ska vara 1. Om vi nu skriver $\frac{nk - k^2}{n^2} = \frac{k}{n} - (\frac{k}{n})^2$ så ser vi att summan vi ska ta gränsvärdet av ser ut enligt $(\frac{1}{n} - (\frac{1}{n})^2)\Delta x + (\frac{2}{n} - (\frac{2}{n})^2)\Delta x + \dots + (\frac{n}{n} - (\frac{n}{n})^2)\Delta x$. Kommer du vidare?

Jag fick 1/6, är svaret korrekt?

Ja.

Freewheeling skrev:

Vi vill skriva om serien som en integral $\int_{a}^{b}f(x)dx$. En kvalificerad gissning är ju att börja med att identifiera att $\frac{1}{n} = \Delta x$ är bredden på alla våra ''staplar'' i Riemannsumman. Eftersom vi antar att alla dessa staplar har samma bredd har vi $\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{1}{n}$ så $b-a=1$, d.v.s. längden på intervallet vi integrerar över ska vara 1. Om vi nu skriver $\frac{nk - k^2}{n^2} = \frac{k}{n} - (\frac{k}{n})^2$ så ser vi att summan vi ska ta gränsvärdet av ser ut enligt $(\frac{1}{n} - (\frac{1}{n})^2)\Delta x + (\frac{2}{n} - (\frac{2}{n})^2)\Delta x + \dots + (\frac{n}{n} - (\frac{n}{n})^2)\Delta x$. Kommer du vidare?

Tack så mycket för hjälpen jag förstod nu när jag såg integralen omskriven!

Ett sätt att kontrollera:

$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Detta ger (ledande termen):

$\lim_{n\to \infty} \frac{n^3/2-n^3/3}{n^3}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^3}{n^3}\cdot \frac{1}{6}=$

$\frac{1}{6}$

Bernhard Riemann (1826-1866),
"mest känd för att ha formulerat den första rigorösa integralen,
den så kallade Riemannintegralen" och det är inte det enda 
han är berömd för. 
https://sv.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann

[kort idéhistorisk notis a propos denna uppgift...]