7 svar
100 visningar
destiny99 7930
Postad: 13 okt 22:01 Redigerad: 13 okt 22:03

Riemansumma analystentafråga

Hej!

 

Jag vet inte var man ska börja på denna fråga. Hur bevisar man detta? 

Formeln för en riemann sum är ju detta

Bedinsis 2894
Postad: 13 okt 22:11

Pröva att rita upp integralen, dela in den i rektanglar och försök tänka ut vad formeln för rektanglarna skulle vara.

destiny99 7930
Postad: 13 okt 22:19 Redigerad: 13 okt 22:19
Bedinsis skrev:

Pröva att rita upp integralen, dela in den i rektanglar och försök tänka ut vad formeln för rektanglarna skulle vara.

Jag tänker delta x_k =b-a/n och i detta fall b=1 och a=0 så delta x_k=1/n. f(x_k)=(1/(1/n)+1)*(1/n)

D4NIEL Online 2932
Postad: 13 okt 23:21 Redigerad: 13 okt 23:22

Nej, xkx_k ska vandra över intervallet, och bli större med ökande värden på k. Med ditt val blir xkx_k oberoende av kk.

Ditt val Δxk=1n\Delta x_k=\frac{1}{n} ser dock bra ut.

destiny99 7930
Postad: 14 okt 07:13 Redigerad: 14 okt 07:13
D4NIEL skrev:

Nej, xkx_k ska vandra över intervallet, och bli större med ökande värden på k. Med ditt val blir xkx_k oberoende av kk.

Ditt val Δxk=1n\Delta x_k=\frac{1}{n} ser dock bra ut.

Okej så hur ska jag bestämma f(x_k) och man får alltså inte multiplicera med delta x?

Trinity2 1891
Postad: 14 okt 07:21
destiny99 skrev:
D4NIEL skrev:

Nej, xkx_k ska vandra över intervallet, och bli större med ökande värden på k. Med ditt val blir xkx_k oberoende av kk.

Ditt val Δxk=1n\Delta x_k=\frac{1}{n} ser dock bra ut.

Okej så hur ska jag bestämma f(x_k) och man får alltså inte multiplicera med delta x?

destiny99 7930
Postad: 14 okt 09:38 Redigerad: 14 okt 09:49
Trinity2 skrev:
destiny99 skrev:
D4NIEL skrev:

Nej, xkx_k ska vandra över intervallet, och bli större med ökande värden på k. Med ditt val blir xkx_k oberoende av kk.

Ditt val Δxk=1n\Delta x_k=\frac{1}{n} ser dock bra ut.

Okej så hur ska jag bestämma f(x_k) och man får alltså inte multiplicera med delta x?

Ahaa det är så man ska göra. Ok nu har vi f(x_k)*delta x_k.  Vi vet även att k börjar från 1 så det måste väl bli 1/(1+n)? Sen ska vi visa att a_n är en riemansumma till integralen, men jag antar att vi har gjort det då vi bestämt en riemansumma till integralen?

D4NIEL Online 2932
Postad: 14 okt 11:02 Redigerad: 14 okt 11:09

Ja, summan du ställt upp är per definition en Riemannsumma till integralen. Det finns också en sats som säger att om du låter antalet intervall, nn, gå mot oändligheten så har Riemannsumman gränsvärdet abf(x)dx\int_a^b f(x)dx.

Lite mer exakt gäller om f(x)f(x) är kontinuerlig på [a,b][a,b], så finns till varje tal ε>0\varepsilon>0 ett tal δ>0\delta>0 så att

k=1nfxkΔxk-abfxdx<ε\displaystyle \|\sum_{k=1}^nf\left(x_k\right)\Delta x_k-\int_a^bf\left(x\right)\,dx\|<\varepsilon

För varje Riemannsumma med maxkΔxk<δ\mathrm{max}_k\left(\Delta x_k\right)<\delta

När nn\to\infty antar Riemannsumman den bestämda integralens värde. Nu kan du alltså beräkna den sökta summan genom att beräkna integralen istället.

Svara
Close