Riemannsummor

Tänk dig först att du partitionerar intervallet [0,1] i tio lika stora delar. Du kan skriva det som partitionen $0 = x_0<\frac{1}{10}=x_1<\frac{2}{10}=x_2<...<\frac{10}{10}=x_{10}$.  Om $f\left(x\right) =\hspace{0.17em}{x}^3$, så är $f\left(x_k\right)=f\left(\frac{k}{10}\right)={\left(\frac{k}{10}\right)}^3$. Vi har också att $∆x_k =x_k-x_{k-1}= \frac{1}{10}$ för alla $k$. Hänger du med då?

Jag tror svårigheten ligger i hur naturar3 tolkar begreppet "Riemannsumma". En Riemannsumma måste inte exakt motsvara en integral, utan de kan också helt enkelt approximera en integral. Jag tror meningen med uppgiften är att plocka fram den integral som approximeras, inte att försöka hitta en integral som har samma värde som summan.

Riemannintegraler (Darbouxintegraler) kräver annars gränsvärden eller suprema och infima.

Men vad är skillnaden,  rent matematiskt, med att en riemannsumma approximerar en integral och motsvarar en integral? Jag förstår inte..

Vi kan ta exemplet i (b). Detta gränsvärde är exakt lika med integralen. Då $n\to \infty$ konvergerar summan mot integralen. Man kan tänka att rektanglarna blir "oändligt tunna". Ofta definierar man integrering med hjälp av Darbouxsummor och erhåller då ett objekt som kallas för Darbouxintegralen. Det är ett sätt att definiera integralen utan gränsvärden med suprema och infima.

I (a) däremot summerar vi diskreta rektanglar, med en bestämd bredd. Detta gör att summan (eftersom det är en högersumma) kommer överapproximera integralens värde. Det finns två typer av Riemannsummor, vänster- och högersummor. Dessa kallas ibland även för under- och översummor. 

Tillägg: 28 sep 2024 19:58

För att förtydliga lite grand:

När man definierar Darbouxintegralen (vilket är i princip samma objekt som Riemannintegralen) så gör man det med hjälp av under- och översummor. Undersumman över intervallet $[a,b]$ för en funktion $f$ betecknas $L(f, [a,b])$ och översumman betecknas $U(f, [a,b])$. Man säger att en funktion är integrerbar om och endast om undersumman är lika med översumman. Alltså:

$\displaystyle \int_{a}^{b}f=L\left(f,\left[a,b\right]\right)=U\left(f,\left[a,b\right]\right)$

Under- och översummorna definieras i sin tur som supremet respektive infimet över alla möjliga partitioner $P$ man kan göra av $[a,b]$:

$\displaystyle L\left(f,\left[a,b\right]\right):=\sup_{P}L\left(f,P,\left[a,b\right]\right)$

$\displaystyle \displaystyle U\left(f,\left[a,b\right]\right):=\inf_{P}U\left(f,P,\left[a,b\right]\right)$

Man tar alltså "bort" under- respektive överapproximeringarna genom att ta supremet eller infimet (eller i ditt fall genom att låta $n\to \infty$). Annars kommer, som du kanske inser, en översumma alltid vara större än eller lika med en undersumma. Det var ungefär så här Riemann tänkte sig integraler. Man kan visa att denna definition av integralen är ekvivalent med "definitionen" som använder gränsvärden.