Riemannsumma

Nej, du skall räkna ut en Riemannsumma, d v s summan av n stycken rektanglar vars area du räknar ut genom att multiplicera bredden $\Delta x = 1/n$ med y-värdet i högerkanten av vardera rektangeln.

Hej!

En Riemannsumma som approximerar integralen är som följer.

    $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,\text{d}x \approx \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\ ,$

där $\xi_k$ är den högra ändpunkten i delintervallet $[t_{k-1},t_{k}]\ .$ Här är

    $\displaystyle 0 = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{n} = 1$

en indelning av intervallet $[0,1]$ i lika långa delintervall, vilket ger att

    $\xi_{k} = \frac{k}{n}$

och Riemannsumman blir

    $\displaystyle R_{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})\ .$

Albiki

okej, svaret ska tydligen bli $R_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)\times \frac{1}{n}$ och gränsvärdet blir 1/4

Vilket du får om du sätter in att f(x) = xln(1 + x) i uttrycket Albiki skrev för R_n.

Sedan får du var uttrycket konvergerar mot genom att beräkna integralen.

Stokastisk skrev :

Vilket du får om du sätter in att f(x) = xln(1 + x) i uttrycket Albiki skrev för R_n.

Sedan får du var uttrycket konvergerar mot genom att beräkna integralen.

Nej, det står inte i uppgiften att man skall beräkna integralen (genom att integrera, alltså) - det stå ratt man skall beräkna gränsvärdet för Riemannsumman när n går mot oändligheten.

smaragdalena skrev :

Stokastisk skrev :

Vilket du får om du sätter in att f(x) = xln(1 + x) i uttrycket Albiki skrev för R_n.

Sedan får du var uttrycket konvergerar mot genom att beräkna integralen.

Nej, det står inte i uppgiften att man skall beräkna integralen (genom att integrera, alltså) - det stå ratt man skall beräkna gränsvärdet för Riemannsumman när n går mot oändligheten.

Det är jag fullt medveten om men eftersom

$\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n={\int }_0^{1}x\ln (1 + x)dx$

så är att beräkna integralen det lättaste sättet att beräkna gränsvärdet på.

Sitter med samma uppgift. Förstår inte riktigt hur man ska beräkna gränsvärdet för R_n som ska bli 1/4.

Testade kasta in integralen i mathematica och fick en ganska lång förklaring som överstiger kunskapsnivån i boken. Det måste finnas något enklare sätt att få fram gränsvärdet.

 $\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n={\int }_0^{1}x\ln (1 + x)dx$ 

Tips: Använd partiell integration.

$\int_0^1 x \ln (1+x) dx = [x^2 \ln (1+x) ]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{1+x} dx$

pi-streck=en-halv skrev :

Tips: Använd partiell integration.

Jag får ut 1/2 vilket inte verkar stämma.

${\int }_0^1\frac{x^2}{1+x}dx ={\int }_0^1\hspace{0.17em}x-1+\frac{1}{x+1}dx$ 

$[x^2 \ln (1+x) ]_0^1 - [\frac{x^2}{2}-x+ \ln (1+x) ]_0^1=0.5$

TriForce2 skrev :

pi-streck=en-halv skrev :

Tips: Använd partiell integration.

Jag får ut 1/2 vilket inte verkar stämma.

${\int }_0^1\frac{x^2}{1+x}dx ={\int }_0^1\hspace{0.17em}x-1+\frac{1}{x+1}dx$ 

$[x^2 \ln (1+x) ]_0^1 - [\frac{x^2}{2}-x+ \ln (1+x) ]_0^1=0.5$

Jag glömde att en primitiv till $x$ är $x^2 /2$

Vi måste ha tänkt fel någånstans.

Integrerar man ursprungliga uttrycket x*ln(1+x) mellan 0 och 1 får man 1/4.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5Bx*Log%5B1+%2B+x%5D,+%7Bx,+0,+1%7D%5D

Det blir en fjärdedel om du har med halvan som jag glömde.

$\frac{1}{2} [x^2 \ln (1+x) ]_0^1 - \frac{1}{2} [x^2/2 - x + \ln (1+x)]_0^1$