Riemannsumma, beräkna bestämda integraler

Har försökt förstå hur Riemannsumma fungerar när man ska beräkna bestämda integraler

Vet hur man beräknar integraler på vanligt sätt genom att integrera funktioner osv.

Har t.ex. funktionen $x^{2}$ , med intervall [0,4]

Har fått för mig att man inte kan ta ett slumpvalt antal rektanglar för att mäta arean under funktionen, utan man ska låta n rektanglar gå mot oändligheten ( $n \to \infty$ ), är jag på rätt spår?

Rektangelns bredd borde vara $x^{i} = \frac{a - b}{n}$

Höjden på respektive rektangel borde vara f(n)?

Arean för varje rektangel $f (x^{i}) * x^{i}$

Summan av alla rektanglar ger sen arean.

Behöver komma vidare med hur jag ska utföra beräkningar, tar gärna emot lite råd.

Du behöver en bättre notation.

Om intervallet år indelat i n lika intervall x_itill x_i+1 så har varje intervall längden 4/n.

Arean under trappan ligger mellan (0²+x₁²+…+x_n–1²)4/n och (x₁²+…x_n²)4/n.

Här är x_i = 4i/n så t ex den sistnämnda summan(översumman) blir

(1²+2²+…+n²) (4/n)³ = [n(n+1)(2n+6)/6] 64/n³ =

= (2n³+ an²+bn+c) 64/(6n³) = (2+a/n+b/n²+c/n³) 64/6

När n går mot oändligheten så går uttrycket mot 64/3.

Gör du samma sak med undersumman får du samma gränsvärde.

Vet inte om det är detta du förväntades göra.

Märker att jag fortfarande har lite svårt för gränsvärdesberäkningar.

Sätter du alltså in oändligheten $\infty$ i uttrycket $(2 + \frac{a}{n} + \frac{b}{n^{2}} + \frac{c}{n^{3}}) * \frac{64}{6}$ ?

nejmeg skrev:
Sätter du alltså in oändligheten $\infty$ i uttrycket $(2 + \frac{a}{n} + \frac{b}{n^{2}} + \frac{c}{n^{3}}) * \frac{64}{6}$ ?

Typ.
Om du har ett litet tal e så kan du alltid hitta ett stort tal N så att uttrycket innanför parentesen har mindre avstånd till 2 än e, för alla n större än N.

Dvs för alla e > 0 existerar N så att | (parentes) – 2 | < e, för alla n > N.

Då går parentesen mot 2 när n går mot oändligheten.

Inte så lätt att greppa från bladet men så tog det också några hundra år för många skärpta matematiker att formulera.

Svara

Visa senaste svar