Riemann-undersumma

Hej, jag känner mig förvirrad angående Riemannsummor generellt så skulle behöva lite hjälp med förståelse och lite dubbelkollning.
Jag har denna uppgift
Jag har kommit såhär långt:

Jag vet av partitionen att jag har två delintervall med längden $Δ x_{i} = \frac{1}{2}$ .
Och att jag har x₀=0, x₁=1/2, x₂=1

Jag har också n=2 (som jag får av att jag har två delintervall)

Och eftersom min funktion är avtagande så borde jag rimligtvis få funktionens minsta värde till höger i varje delintervall. Alltså i x_i.

Då borde jag ha undersumman:

$L (f, P) = \sum_{i = 1}^{2} f (x_{i}) Δ x_{i}$

Och om jag då sätter in det jag har har kommit fram till från den givna informationen så borde jag få:

$L (f, P) = \sum_{i = 1}^{2} f (x_{i}) Δ x_{i} = \frac{4}{1 + {(\frac{1}{2})}^{2}} \times \frac{1}{2} + \frac{4}{1 + 1^{2}} \times \frac{1}{2} = . . . = \frac{8}{5} + 1 = \frac{13}{5} = 2.6$

Och förutsatt att jag har gjort rätt så är jag väldigt förvirrad över frågan: "Varför kan man säga att värdet L(f,P) är ett närmevärde till $π$ ?"
För 2,6 är ju inte speciellt nära $π$ ?

Det jag kan tänka mig är anledningen till att vi kan säga att det är ett närmevärde till pi är att om man beräknar integralen till f(x) på det givna intervallet så får man

$\int_{0}^{1} \frac{4}{1 + x^{2}} d x = 4 {[a r c \tan (x)]}_{0}^{1} = 4 (\frac{π}{4}) = π$

Men vet inte hur jag skulle kunna förklara det på ett rimligt sätt...

Antingen har jag gjort rätt men har bristande förståelse eller så har jag helt enkelt gjort fel någonstans på vägen.
Tack på förhand! :)

EDIT: Jag vet att man uppskattar arean under funktionen med undersummor och översummor, och jag vet att om man beräknar integralen att det också är arean, fast mer exakt. Och ja, jag har ritat för att se enklare.

Nja, alltså jag skulle inte säga att integralen är ett mer exakt sätt att beräkna arean än under- och överintegralerna.

Det är ju snarare så att integralen, definitionsmässigt, är ett gränsvärde av under- och överintegralerna.

Med andra ord: när partionens finhet ökar, så konvergerar undersumman mot integralen (givet att integralen existerar vilket vi naturligtvis vet att den gör i det här fallet).

Så på det sättet kan undersumman sägas vara ett närmrevärde till pi, även om det inte ligger särskilt nära. Det vill säga om delar in intervallet i 3 intervall så kommer vi att komma ännu närmre, 4 ännu närmre, börjar vi ha ett par 1000 intervall så kommer vi nog riktigt nära osv.

Smutsmunnen skrev:
Nja, alltså jag skulle inte säga att integralen är ett mer exakt sätt att beräkna arean än under- och överintegralerna.

Det är ju snarare så att integralen, definitionsmässigt, är ett gränsvärde av under- och överintegralerna.

Med andra ord: när partionens finhet ökar, så konvergerar undersumman mot integralen (givet att integralen existerar vilket vi naturligtvis vet att den gör i det här fallet).

Så på det sättet kan undersumman sägas vara ett närmrevärde till pi, även om det inte ligger särskilt nära. Det vill säga om delar in intervallet i 3 intervall så kommer vi att komma ännu närmre, 4 ännu närmre, börjar vi ha ett par 1000 intervall så kommer vi nog riktigt nära osv.

Ah, okej! Då var jag typ på rätt väg i förståelsen ändå.

Så man skulle kunna säga att oavsett hur många delintervall man har, att man får en typ av approximation till arean under grafen med både över- och undersummor, men beroende på hur många intervall man har avgör hur nära man kommer den faktiska arean? Men andra ord kanske man kan säga hur bra approximationen är till arean?

Och i detta fall skulle man kunna säga att just denna undersumma är ett närmevärde till pi eftersom just denna summa konvergerar mot pi när finheten ökar för partitionen? Och det är för att integralen existerar som är förklaringen till det?

Och hur vet man att det är just pi den konvergerar till? Är det för att integralen för f(x) på intervallet [0,1] blir pi?

Men i övrigt har jag gjort rätt i uträkningarna?

Jag ser inget som ser tokigt ut i beräkningarna.

Jag vet inte exakt på vilken nivå du läser så vet inte exakt hur mycket jag ska förklara. Men ger det ett försök.

Ungefär såhär definierar man en (Riemann-)integral:

Vi utgår ifrån en begränsad funktion på ett kompakt (slutet och begränsat) intervall. Typ funktionen i din övning.

Vi betraktar mängden av alla partitioner av intervallet.

För varje partition beräknar vi under-Riemannsumman och över-Riemannsumman.

Vi definierar underintegralen som det minsta tal som är större än eller lika med alla under-Riemannsummorna.

Vi definierar överintegralen som det största tal som är mindre än eller lika med alla över-Riemannsummorna.

Om underintegralen = överintegralen så säger vi att funktionen är (Riemann-)integrerbar och definierar integralen av funktionen på detta intervall genom integralen=underintegralen=överintegralen.

Om underintegralen inte är lika med överintegralen så är funktionen inte (Riemann-)integrerbar, integralen existerar inte kan vi säga.

Detta är definitionen av en integral.

Normalt sett beräknar vi ju sen integraler med en uppsättning integrationsregler som man härlett från definitionen. Men vi kan också använda Riemann-summorna för att approximera integralen.

Det vill säga, givet att integralen existerar, så kommer en finare och finare partition av intervallet innebära att under- och över Riemann-summorna ger en bättre och bättre approximation av integralen.

Vad jag vill säga är alltså: vi kan approximera integraler med Riemann-summor men det beror inte på att de är två olika sätt att beräkna samma sak, den ena exakt den andra approximativ, utan integralen definieras genom Riemann-summorna.

Smutsmunnen skrev:
Jag ser inget som ser tokigt ut i beräkningarna.

Jag vet inte exakt på vilken nivå du läser så vet inte exakt hur mycket jag ska förklara. Men ger det ett försök.

Ungefär såhär definierar man en (Riemann-)integral:

Vi utgår ifrån en begränsad funktion på ett kompakt (slutet och begränsat) intervall. Typ funktionen i din övning.

Vi betraktar mängden av alla partitioner av intervallet.

För varje partition beräknar vi under-Riemannsumman och över-Riemannsumman.

Vi definierar underintegralen som det minsta tal som är större än eller lika med alla under-Riemannsummorna.

Vi definierar överintegralen som det största tal som är mindre än eller lika med alla över-Riemannsummorna.

Om underintegralen = överintegralen så säger vi att funktionen är (Riemann-)integrerbar och definierar integralen av funktionen på detta intervall genom integralen=underintegralen=överintegralen.

Om underintegralen inte är lika med överintegralen så är funktionen inte (Riemann-)integrerbar, integralen existerar inte kan vi säga.

Detta är definitionen av en integral.

Normalt sett beräknar vi ju sen integraler med en uppsättning integrationsregler som man härlett från definitionen. Men vi kan också använda Riemann-summorna för att approximera integralen.

Det vill säga, givet att integralen existerar, så kommer en finare och finare partition av intervallet innebära att under- och över Riemann-summorna ger en bättre och bättre approximation av integralen.

Vad jag vill säga är alltså: vi kan approximera integraler med Riemann-summor men det beror inte på att de är två olika sätt att beräkna samma sak, den ena exakt den andra approximativ, utan integralen definieras genom Riemann-summorna.

Jag tycker det var en väldigt bra förklaring! Jag har mer förståelse för detta nu än innan.

Tack så mycket för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar