Resträkning med höga tal

Hej, jag repeterar mattematik inför universitet och arbetar med ett papper jag fick av skolan och vill genomföra det så gott jag kan.

Denna uppgift tyckte jag var intressant för jag vet att den förmodligen är enklare än vad den ser ut att vara.

Jag har ett polynom x¹⁰⁰-2x¹⁰+1

Uppgiften är att jag ska räkna ut resten med 3 olika nämnare:

a) x-1 b) x+2 c) x+1

Jag har ju förstått att man för hand kan sitta med liggande stolen i all evighet för att få fram resten men det är ju inte effektivt, något jag däremot upptäckte var att jag vid a) kunde försumma x¹⁰⁰ eftersom resten skulle bli densamma (Tror jag). Jag har googlat efter sätt att förenkla polynom med höga potenser utan tur, och söker därför hjälp här för hur jag ska tänka i dessa sortens uppgifter. Vad kan man försumma och hur för att enkelt få fram resten.

Tack på förhand

Vid division med polynom av grad ett kan man enklast använda definitionen av polynomdivision och inse att det räcker att sätta in ett visst värde i polynomet för att får fram resten.

Definitionen av polynomdivision säger ju att om x - 1 delar p(x) så finns det en kvot q(x) och en rest r(x) sådana att

p(x) = q(x)(x - 1) + r(x)

Detta är analogt med att säga att om ett tal 7 delar ett heltal n så finns det en kvot q och en rest sådan att

n = q*7 + r

exempelvis med 23 = 3*7 + 2 där q = 3 ocxh r = 2.

Så åter till polynomdivisionen: Om q är kvoten vid division med x - 1 och r(x) är resten så vet vi att r(x) måste ha lägre grad än delaren x - 1 dvs måste vara av grad 0 och alltså vara ett tal. r(x) = r

p(x) = q(x)(x - 1) + r

men vi kan nu se att om vi stoppar in ett x-värde sådant att första termen i uttrycket q(x)(x - 1) = 0 så kommer p(x) bara att spotta ut resten. Vi ser direkt att detta sker när x = 1. Så:

p(1) = q(1)(1 - 1) + r = 0 + r = r

p(1) = (1)^100 + 2 * (1)^10 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4

Därmed är resten i fall a) bara lika med r(x) = 4

Om delaren inte är ett polynom av grad 1, exempelvis x^2 + 2x - 1, då måste man modifiera metoden lite men idén är densamma. Man stoppar in ett passande tal i funktionen och betraktar värdet man får.

Svara