Resten vid polynomdivision av okänt polynom
Hej,
Kan någon förklara för mig hur man delvis ska tänka när man som ett exempel vet följande:
Exempelfråga:
Då man dividerar ett okänt polynom p(x) med (x+3) får man resten 3. Då samma polynom p(x) divideras med (x-4) får man resten 4. Vad blir resten r(x) då man dividerar polynomet p(x) med (x+3)(x-4)?
Jag har sett på andra forum hur man löser detta, och frågan är mer varför det stämmer.
Jag är med på att man skriver
p(x)=(x+3) × q(x)+3
p(x)=(x-4) × s(x)+4
och att man vet från första raden ovan att:
p(-3) = (-3+3) x q(x) +3 = 0 + 3 = 3
p(4) = (4-4) x s(x) + 4 = 0 + 4 = 4
Men varför innebär detta att man kan säga: p(-3) = 3 = r(-3) och p(4) = 4 = r(4) ? Dvs definitionsmässigt, varför har resten r(x) samma värde som p(x) i dessa två punkter?
Tack på förhand!
MVH Josephine
PS Sedan fortsätter man ju med att tänka att då vi dividerar med (x+3)(x-4), dvs ett andragradspolynom så ska resten r(x) vara ett förstagradspolynom såsom r(x) = kx + m
Sen sätter man in att:
3 = k x (-3) + m
4 = k x (4) + m
och får ut att k = ungefär 0,143 och m = ungefär 3,429.
Hej!
Tänk såhär: precis som när du pratar om p(x) delat med x+3 och x-4 skriver du p(x) som i din text, kan du också skriva p(x) när du utgår ifrån delningen med (x+3)(x-4).
Dvs, du kan skriva: p(x)=((x+3)(x-4))t(x)+r(x). Är du med?
Om du nu ersätter x med -3, respektive med 4, kommer du fram precis till p(-3)=3=r(-3) och p(4)=4=r(4).
Håller du med?
Insåg detta lite senare i går faktiskt..men det är skönt att se att någon annan bekräftar det. :) Kanske var lite väl enkelt, men ibland undrar man; är det verkligen så enkelt? :P Och ja, det var det ju. ;)
