Rest vid division

Man menar förmodligen att polynomet kan skrivas som

$p(x)=k_1(x)\cdot (x+2)+4$

$p(x)=k_2(x)\cdot(x-2)+5$

D4NIEL skrev:

Man menar förmodligen att polynomet kan skrivas som

$p(x)=k_1(x)\cdot (x+2)+4$

$p(x)=k_2(x)\cdot(x-2)+5$

Okej men vi vet ej vad p(x)  ,k1(x) eller k2(x) är. Sätter man dem lika så får man k1(x)(x+2)+4=k2(x)(x-2)+5

Du kan använda uttrycken som innehåller $k_1$ och $k_2$ för att klura ut värdet på $p(-2)$ och $p(2)$. Vad blir det för värden?

Nu söker man alltså $r(x)$ i uttrycket

$p(x)=k_3(x)(x+2)(x-2)+r(x)$

Vad är det högsta gradtal $r(x)$ kan ha?

Kommer du vidare?

D4NIEL skrev:

Du kan använda uttrycken som innehåller $k_1$ och $k_2$ för att klura ut värdet på $p(-2)$ och $p(2)$. Vad blir det för värden?

Nu söker man alltså $r(x)$ i uttrycket

$p(x)=k_3(x)(x+2)(x-2)+r(x)$

Vad är det högsta gradtal $r(x)$ kan ha?

 

Kommer du vidare?

högsta gradtal är 1. Nej jag kommer ej vidare. Stoppar jag in -2 respektive 2 i en av dem får jag p(x)=4 och p(x)=5

Så du har kommit fram till att $p(-2)=4$ samt att $p(2)=5$.

Eftersom det högsta gradtal $r(x)$ kan ha är 1 kan vi skriva det som ett allmänt polynom av första graden så här

$r(x)=ax+b$

Vad blir kvar om du sätter in $x=-2$ eller $x=2$ i uttrycket $k_3(x+2)(x-2)+r(x)$?

Kommer du vidare?

D4NIEL skrev:

Så du har kommit fram till att $p(-2)=4$ samt att $p(2)=5$.

Eftersom det högsta gradtal $r(x)$ kan ha är 1 kan vi skriva det som ett allmänt polynom av första graden så här

$r(x)=ax+b$

Vad blir kvar om du sätter in $x=-2$ eller $x=2$ i uttrycket $k_3(x+2)(x-2)+r(x)$?

Kommer du vidare?

Det som blir kvar är r(x) bara. Vi får 2 ekvationer med 2 obekanta 

r(2)=2a+b=0

r(-2)=-2a+b=0

Dina ekvationer stämmer inte riktigt, de ska inte vara lika med 0.

Tänk på att $r(x)$ är det enda som blir kvar, det innebär att $p(-2)=r(-2)$

Och vad var $p(-2)$?

Det samma gäller $p(2)=r(2)$

D4NIEL skrev:

Dina ekvationer stämmer inte riktigt, de ska inte vara lika med 0.

Tänk på att $r(x)$ är det enda som blir kvar, det innebär att $p(-2)=r(-2)$

Och vad var $p(-2)$?

Det samma gäller $p(2)=r(2)$

Jo precis det är sant. Då är p(-2)=r(-2) 

p(-2)=4

p(2)=5

Vi får då dessa ekvationer

4=-2a+b (1)

5=2a+b  (2)

Additionsmetoden ger då

9= 2b

b=9/2

b=9/2 insättning i (1) ger 

a=1/4

detta ger då:

r(x)= x/4+9/2

Snyggt! Visst känns det lite paradoxalt att vi kan bestämma restfunktionen, trots att vi varken känner till $p(x)$ eller någon av $k_n(x)$-funktionerna?