Resonemang: förändringshastigheter
Jag har som bilden ovan kommit så långt, när jag tittar på facit så har jag hälften rätt eftersom jag inte har resonerat tillräckligt välutvecklade. Det jag har problem med är att förstå på djupet varför exempelvis omkretsen av en cirkel eller arean av ett klot återkommer när man deriverar. Om omkretsen beskriver hur stort området är och arean beskriver hur mycket plats som rymms inuti, vad beskriver volymen? Det känns som att jag har glömt den grafiska förklaringen bakom detta.
Tack på förhand!
Halvformellt resonemang:
Ta två cirklar med radie r1 och r2.
Arenorna är då
A1 = πr1^2
A2 = πr2^2
Vi kan ju ta skillnaden i radie som
dr = r2 - r1, så r2 = r1 + dr
Skillnaden i area är då
dA = A2 - A1 = πr2^2 - πr1^2 = π(r1 + dr)^2 - πr1^2
Utveckla kvadraten och förenkla
dA = 2πr1*dr + π(dr)^2
Detta är exakt, oberoende på dr.
Om dr är mycket mindre än r1 så kan den andra termen i HL strykas. Dela med dr så har du
dA/dr ≈ 2πr1
Det i HL är den mindre cirkelns omkrets, VL går mot derivatan A'(r). Om dr går mot 0 blir det även den större cirkelns omkrets.
EDIT: skrev radie, men menade omkrets, nu fixat
