Resonemang

Vi åker inte genom marken trots att normalkraften är noll eftersom hela kraften $mg$ går åt till att accelerera föremålet enligt Newtons andra lag $F=ma$.

Att $mg=F_{N}$ beror på att listade värden på $g$ tar hänsyn till var på jorden du är, jordens densitet och vad rotationshastigheten blir på en viss latitud. Vid ekvatorn är g ungefär 9.78 och vid nordpolen 9.83.

Under normala omständigheter kan du alltså för ett föremål i "vila" på jordytan använda $F_N=mg$, även om föremålet varken är i "vila" eller i ett gravitationsfritt system.

Ja, du har ett accelererande system. 

I  "vanliga" fall bryr vi oss inte om att vi här på jordytan befinner oss i ett  accelererande system för att effekterna är försumbara. I det här fallet gäller frågan just det accelererande systemet så då kan vi inte försumma det.

I din 1a fråga är det precis som jroth säger systemet är inte i vila (hade det varit det så är ditt resonemang korrekt) och därför faller föremålen inte genom jorden. Ett annat sätt att se det är att ju fortare jorden roterar desto mer lättar föremålen från där de ligger (på ett bord t.ex.). Att de lättar är samma sak som att normalkraften minskar. De tycker ju mindre på bordet vilket i princip är definitionen av att lätta.

Även i din 2a fråga är det accelerationen som ger svaret och det luriga g (förutsatt att vi tror på jroth eller att vi övertygar oss om att rotationshastigheten ingår i g, jag väljer att tro på jroth). Då ska vi låta bli att säga att föremålet är i vila. Det är tvärt om under acceleration. Krafterna som verkar på föremålet ges av gravitationslagen (inte av g) plus normalkraften. Resultanten av dessa ger accelerationen.

Håller med båda föregående. Tillägger bara att största orsaken till g's variation på jordytan är att jorden inte är exakt rund utan lite "tillplattad" vid polerna, förmodligen just för att den har stått och snurrat så länge, och "slungat" ut sin jordmassa. Precis som frågan handlar om...

Därmed blir avståndet till jordens tyngdpunkt mindre från ytan vid polerna jämfört med från ytan vid ekvatorn.

Peter skrev:

Ja, du har ett accelererande system. 

I  "vanliga" fall bryr vi oss inte om att vi här på jordytan befinner oss i ett  accelererande system för att effekterna är försumbara. I det här fallet gäller frågan just det accelererande systemet så då kan vi inte försumma det.

I din 1a fråga är det precis som jroth säger systemet är inte i vila (hade det varit det så är ditt resonemang korrekt) och därför faller föremålen inte genom jorden. Ett annat sätt att se det är att ju fortare jorden roterar desto mer lättar föremålen från där de ligger (på ett bord t.ex.). Att de lättar är samma sak som att normalkraften minskar. De tycker ju mindre på bordet vilket i princip är definitionen av att lätta.

Även i din 2a fråga är det accelerationen som ger svaret och det luriga g (förutsatt att vi tror på jroth eller att vi övertygar oss om att rotationshastigheten ingår i g, jag väljer att tro på jroth). Då ska vi låta bli att säga att föremålet är i vila. Det är tvärt om under acceleration. Krafterna som verkar på föremålet ges av gravitationslagen (inte av g) plus normalkraften. Resultanten av dessa ger accelerationen.

Tack för alla svar. Men det jag inte förstår är att centripetalkraften är ju riktad mot jordens centrum, den enda kraften som verkar på föremålet är tyngdkraften om inte normalkraften finns, och denna är ju den resulterande kraften (som är då centripetalkraften) så det är svårt för mig att se varför den inte faller igenom jorden. 

Vad gäller min andra fråga, menar du att jag tänkte fel vid att mg=F_N? De ska väl vara lika stora krafter i och med att vi inte rör oss i vertikal led? Jag har svårt att se varför F_N=0 N gör att man tappar kontakten med marken.

Är mg konstant även när jorden spinner snabbare? Det verkar som att de antar det då det står att "om centripetalkraften ökar så betyder det att normalkraften minskar".

Är mg konstant även när jorden spinner snabbare? Det verkar som att de antar det då det står att "om centripetalkraften ökar så betyder det att normalkraften minskar".

Finns det något i m eller g som påverkas av rotationen?

Smaragdalena skrev:

Är mg konstant även när jorden spinner snabbare? Det verkar som att de antar det då det står att "om centripetalkraften ökar så betyder det att normalkraften minskar".

Finns det något i m eller g som påverkas av rotationen?

Jag vet inte, men om man lättar ju fortare jorden snurrar så har det väl påverkat?

Centripetalkraften är alltid riktad "mot mitten". Det är det som gör banan cirkelformad. Om du hypotetiskt tänker dig att du svingar en vikt i ett snöre på ett gravitationsfritt ställe. Det enda som kan påverka vikten är då snöret. Kraften längs snöret är hela tiden riktad mot centrum av rörelsen. Kraften behövs för att rikta om rörelsen som annars skulle varit rätlinjig.

I ditt fall när normalkraften blir 0 så räcker inte gravitationen till för att åstadkomma en cirkulär rörelse och föremålet lämnar bordet eller var det nu befinner sig. Obs, det fortsätter inte i tangentens riktning eftersom det påverkas av en gravitationskraft men det ligger inte kvar där det låg.

Det är alltså faktumet att det är ett accelererande system som ställer till det lite, men om man tänker steg för steg så är det inte ologiskt, det som händer.

I din fråga 2 - ja det är fel att säga att föremålet är i vila. Det är just accelerationen som du vill studera. Den som, i princip, ges av högerledet. I "vanliga" uppgifter ignorerar man att jordytan är ett accelererande system för att det inte spelar någon roll för lösningen av de problemen. Så är det inte här, eftersom hela frågan handlar om jordrotation och acceleration.

m är massan. Den påverkas inte av rotationen (hur skulle det gå till?).

g är gravitationen. Den beräknas genom formeln F=G\frac{m_1m_2}{r^2}. Gravitationskonstanten G  är en konstant och påverkas inte av rotationen. m₁ är en massa som inte påverkas av rotationen. m₂ är Jordens massa som inte påverkas av rotationen. r är Jordens radie, som inte påverkas av rotationen. 

Slutsats: Varken m eller g påverkas av rotationen, så mg är konstant.

När man lättar från jordytan beror det på att tyngdkraften mg inte är stark nog att hålla kvar dig i omloppsbana på jordytan, med andra ord centripetalkraften skulle behöva vara starkare än vad mg är för att hålla dig kvar.

@smaragdalena jag vet inte om g påverkas av rotationen men jag tar jroth på orden där. Att de tabellerade värdena har tagit hänsyn till rotation. 

Att använda gravitationslagen istället för g känns säkrast.

Peter skrev:

I din fråga 2 - ja det är fel att säga att föremålet är i vila. Det är just accelerationen som du vill studera. Den som, i princip, ges av högerledet. I "vanliga" uppgifter ignorerar man att jordytan är ett accelererande system för att det inte spelar någon roll för lösningen av de problemen. Så är det inte här, eftersom hela frågan handlar om jordrotation och acceleration.

$mg-F_N=\frac{4\pi ²rm}{T²}$ om inte den är i vila, betyder det att mg är större än normalkraften? Jag sökte lite vidare om detta på internet och har stött på ordet centrifugalkraft som verkar ha med detta att göra("The strength of the centrifugal force depends on where you are. It is greatest at the equator and zero at the Earth’s poles. If you move away from the equator the centrifugal force is lower so you still wouldn’t fly off into space), bör jag läsa mer om det för att förstå allt djupare (det står inget om det i vår bok). Förlåt för mina oändliga frågor men på lösningen står det att om F_N=0 N så kommer det inte längre att finnas kontakt med marken för den som befinner sig för ekvatorn, gäller det inte oss som befinner oss närmare polerna?

Peter skrev:

@smaragdalena jag vet inte om g påverkas av rotationen men jag tar jroth på orden där. Att de tabellerade värdena har tagit hänsyn till rotation. 

Att använda gravitationslagen istället för g känns säkrast.

jroth har rätt. Med den konsekvensen att inte bara storleken på g, utan även riktningen på g ändras lite-lite var på jordytan man står, eftersom gravitationen pekar mot tyngdpunkten, men rotationens påverkan är mot rotationsaxeln. Dvs riktningarna sammanfaller enbart vid ekvatorn.

(läs tex https://www.lantmateriet.se/sv/Kartor-och-geografisk-information/gps-geodesi-och-swepos/Referenssystem/Tyngdkraftssystem/Tyngdkraften/)

Kanske detta hjälper leonhart? Med 2 siffrors noggrannhet kan man försumma centripetalkraften. Nu handlar uppgiften om ett hypotetiskt fall med snabbare rotation så att man inte kan försumma den. Uträkningen visar bl.a. att Fg inte är lika stor som FN.

Men att skillnaden ofta är försumbar.

Blanda inte in centrifugalkraft. Den krånglar bara till det och den behövs inte.

Leonhart skrev:

Peter skrev:

I din fråga 2 - ja det är fel att säga att föremålet är i vila. Det är just accelerationen som du vill studera. Den som, i princip, ges av högerledet. I "vanliga" uppgifter ignorerar man att jordytan är ett accelererande system för att det inte spelar någon roll för lösningen av de problemen. Så är det inte här, eftersom hela frågan handlar om jordrotation och acceleration.

$mg-F_N=\frac{4\pi ²rm}{T²}$ om inte den är i vila, betyder det att mg är större än normalkraften? Jag sökte lite vidare om detta på internet och har stött på ordet centrifugalkraft som verkar ha med detta att göra("The strength of the centrifugal force depends on where you are. It is greatest at the equator and zero at the Earth’s poles. If you move away from the equator the centrifugal force is lower so you still wouldn’t fly off into space), bör jag läsa mer om det för att förstå allt djupare (det står inget om det i vår bok). Förlåt för mina oändliga frågor men på lösningen står det att om F_N=0 N så kommer det inte längre att finnas kontakt med marken för den som befinner sig för ekvatorn, gäller det inte oss som befinner oss närmare polerna?

Dina frågor är inte alls dumma, dom visar ju bara att du vill förstå hur det hänger ihop. Sanningen är ju den (Peter skrev det här någonstans) att modeller är alltid bara modeller, och man strävar ju att använda modeller som är så enkla som möjligt men forfarande beskriver det man är ute efter att beskriva. Det får ju som konsekvens att tänker man vad som händer i extremlägen så kanske inte alltid modellen funkar bra. Tex använder du g=9.82 istället för g=9.78 när du löser kanske du får två helt olika resultat i något extremt fall, men i de allra allra flesta fall duger det kanske att använda g=9.8 för att få ett tillräckligt noggrannt resultat.

Så ja, vill du vara exakt exakt så måste du räkna med att jordklotet inte är ett inertialsystem, utan ett accelererande system. Men i de allra flesta fall behöver man inte det. Dock finns det finns ganska vardagliga exempel på när man måste ta hänsyn till detta. Läs tex om coreolis-effekten, som inte handlar om centrifugalkrafter, men om andra effekter i icke-inertialsystem. Den kommer i mekanikkurser på universitetsnivå https://sv.wikipedia.org/wiki/Corioliseffekten

Ja, centrifugalkraft hänger ihop med detta, det uppstår som reaktion till centripetalkraften, om man betraktar ett system inifrån det icke intertiala koordinatsystemet. (Dvs vad vi gör när vi står här på jorden). Det är tex centrifugalkraften du själv känner av när du känner att du slungas utåt i en karusell. Men för en person som står utanför karusellen så uppfattar han det som en normalkraft från gungan (eller vad det nu är) som håller dig kvar i din accelererade cirkelrörelse.

Ja, ju närmare du kommer polerna, ju mindre behöver centripetalkraften vara för att hålla dig kvar i banan (teckna centripetalkraften som funktion av vinkelhastighet, $F_c=m{\omega }^{2}r$ så ser man att den går mot noll då rotationsradien minskar, vilken den gör ju närmare rotationsaxeln man kommer). Sedan tillkommer ju också (som jag skrev på annat ställe) att centripetalkraften är riktad mot rotationscentrum medan g är riktad mot tyngdpunkt, och den avvikelsen blir större ju längre man kommer från ekvatorn.