rent imaginärt svar

Hej

jag behöver hjälp med att förstå följande uppgift:

Antag att z är ett komplext tal så att |z|=1 och att z inte är reellt. Visa att $\frac{z + 1}{z - 1}$ är rent imaginärt (dvs har realdel 0)

I facit har dom satt $\frac{(z + 1) (\bar{z} - 1)}{{|z - 1|}^{2}} = \frac{{|z|}^{2} - z + + z - 1}{{|z - 1|}^{2}}$

Som jag förstår har dom alltså multiplicerat täljaren med konjugatet och lämnar nämnaren oförändrad.

Sedan blir det slutliga svaret $\frac{- 2 I m (z)}{{|z - 1|}^{2}}$ men hur kommer man fram till -2Im(z)?

Du har att $|z|^2 = 1$ samt att om $z = x + yi$ så har du att

$- z + z = - x - y i + x - y i = - 2 y i$

Alltså $- z + z = - 2 I m (z) i$ , därför får du alltså att

${|z|}^{2} - z + z - 1 = 1 - z + z - 1 = - 2 I m (z) i$

Hej!

Det komplexa talet

$\frac{z+1}{z-1}$

är samma sak som det komplexa talet

$\frac{(z+1)(\overline{z-1})}{|z-1|^2}$ ;

nämnaren $|z-1|^2$ är ett positivt reellt tal. Täljaren är lika med det komplexa talet

$(z+1)(\overline{z}-1) = |z|^2 - z + \overline{z} - 1.$

Termen $(|z|^2 - 1)$ är lika med noll och termen $\overline{z} - z$ är rent imaginär; täljaren är därför ett rent imaginärt tal.

Albiki

Svara