Relativt prima
Hej hur kan jag bevisa att 21n+4 och 14n+3 är relativt prima för alla heltal n.
Jag tänkte att 21n+4 = 3(7n+1) +1
och att 14n+3 = 2(7n+1) + 1
jag ser utifrån dessa 2 uttryck att jag inte kan bryta ut någon gemensam faktor. Men är detta ett bevis?
//Erika
Erika1267 skrev:Hej hur kan jag bevisa att 21n+4 och 14n+3 är relativt prima för alla heltal n.
Jag tänkte att 21n+4 = 3(7n+1) +1
och att 14n+3 = 2(7n+1) + 1
jag ser utifrån dessa 2 uttryck att jag inte kan bryta ut någon gemensam faktor. Men är detta ett bevis?
//Erika
Nej, det är inget bevis.
Mitt första försök att bevisa detta skulle vara att försöka genomföra ett motsägelsebevis. Vet du hur du skall göra detta?
Smaragdalena skrev:Erika1267 skrev:Hej hur kan jag bevisa att 21n+4 och 14n+3 är relativt prima för alla heltal n.
Jag tänkte att 21n+4 = 3(7n+1) +1
och att 14n+3 = 2(7n+1) + 1
jag ser utifrån dessa 2 uttryck att jag inte kan bryta ut någon gemensam faktor. Men är detta ett bevis?
//Erika
Nej, det är inget bevis.
Mitt första försök att bevisa detta skulle vara att försöka genomföra ett motsägelsebevis. Vet du hur du skall göra detta?
Jag vet då att jag ska anta att de två uttrycken inte är relativt prima och att detta leder till en motsägelse. Men jag vet inte riktigt hur jag ska ställa upp det.
Du skall alltså anta att 21n+4 och 14n+3 har en gemensam faktor och visa att detta leder till en motsägelse. Vill du ha mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen!
Smaragdalena skrev:Du skall alltså anta att 21n+4 och 14n+3 har en gemensam faktor och visa att detta leder till en motsägelse. Vill du ha mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen!
Om jag utgår ifrån ett motsägelsebevis, dvs att uttrycken har en gemensam faktor:
a|(21n+4) och att a|(14n+3) så måste det medföra att
a | ((21n+4) + (14n+3)) , där a är ett heltal
Då kan vi uttrycka: 21n + 4 = a x K där K tillhör heltalen och 14n+3 = a x M där M tillhör heltalen
Vi får då att 21n+4 + 14n+3 = aK + aM vilket ger att vi får att 35n+7 = a(K+M).
Kom inte längre än såhär
Jag tycker det verkar vara svårt att använda ett motsägelsebevis. Som du är inne på i ditt senaste inlägg kan du dock använda att delarna till (a,b) är precis samma som delarna till (a,b+ka) där k är ett heltal.
Antag att både A=21n+4 och B=14n+3 är delbara med talet k. I så fall kan de skrivas som ka respektive kb. Om de båda uttrycken är delbara med k måste även uttrycken A+B och A-B vara delbara med k, d v s k(a-b)=7n-1 och k(a+b)=35n+7 skall ha en gemensam faktor. Men 7n-1 och 35n+7 har ingen gemensam faktor, vilket ger en motsägelse. Alltså måste vårt antagade att A och B har en gemensam faktor felaktigt, och de båda talen måste vara relativt prima.
Smaragdalena skrev:Antag att både A=21n+4 och B=14n+3 är delbara med talet k. I så fall kan de skrivas som ka respektive kb. Om de båda uttrycken är delbara med k måste även uttrycken A+B och A-B vara delbara med k, d v s k(a-b)=7n-1 och k(a+b)=35n+7 skall ha en gemensam faktor. Men 7n-1 och 35n+7 har ingen gemensam faktor, vilket ger en motsägelse. Alltså måste vårt antagade att A och B har en gemensam faktor felaktigt, och de båda talen måste vara relativt prima.
Ska det inte vara 7n+1?
Erika1267 skrev:Smaragdalena skrev:Antag att både A=21n+4 och B=14n+3 är delbara med talet k. I så fall kan de skrivas som ka respektive kb. Om de båda uttrycken är delbara med k måste även uttrycken A+B och A-B vara delbara med k, d v s k(a-b)=7n-1 och k(a+b)=35n+7 skall ha en gemensam faktor. Men 7n-1 och 35n+7 har ingen gemensam faktor, vilket ger en motsägelse. Alltså måste vårt antagade att A och B har en gemensam faktor felaktigt, och de båda talen måste vara relativt prima.
Ska det inte vara 7n+1?
Det stämmer, jag skrev fel (och såg inte vad det verkligen stod utan vad jag visste att det egentligen borde stå) men slutsatsen är densamma.
