15 svar

307 visningar

Pompan behöver inte mer hjälp

Relativt avstånd mellan två flygplan

Uppgiften lyder:

"Två flygplan, A och B, färdas i samma höjd. A färdas med hastigheten 800 km/h österut och B färdas med hastigheten 600 km/h norrut. De befinner sig på avståndet 100 km från punkten P.

a) Bestäm A:s hastighet relativt B uttryckt på vektorform

b) Bestäm A:s lägesvektor relativt B som funktion av tiden

c) Vilket är det minsta avståndet mellan flygplanen då de korsar varandras väg?"

Har löst a) och b), där jag fick fram svaren

a) $V_{A B}$ = (800 $\hat{x}$ - 600 $\hat{y}$ ) km/h

b) $X_{A B}$ (t) = ((-100 + 800t) $\hat{x}$ + (-100 + 600t) $\hat{y}$ ) km

I facit står det dock:

$X_{A B}$ (t) = [(-100 + 800t) + (-100 + 600t) ] km

är det någon skillnad i betydelse?

Det är c) jag har problem med. Har fått ledningen att ta fram hur lång tid det tar för A att nå korsningspunkten (ses som origo) och sedan sätta in den tiden i lägesfunktionen för B för att få reda på distansen mellan A och B när A är i orgio.

Provade sedan att göra samma sak fast vice versa, alltså när B är i origo.

Första försöket gav avståndet 25 km och det andra 33 km. Båda är för stora avstånd då det ska bli enbart 20 km mellan dem. Har någon en tanke på hur man ska gå tillväga?

Står det exakt så där i facit? Plustecknet mellan parenteserna borde vara ett komma. Ditt uttryckssätt ser i alla fall rätt ut för mig.

Får man inte veta om planen har passerat punkten P redan?

Du vet avståndet mellan dem. Finn minimum genom att derivera.

Jag räknade lite och kom fram till samma sak som Pompan.

När plan A som flyger i x-led kommer till mötespunkten har B 25 km kvar.

När plan B kommer fram till mötespunkten så har A passerat och befinner sig 33 km därifrån.

Så det ser svårt ut att komma närmare. Diagonalen mellan planen kan ju aldrig bli mindre än 25 km om jag inte tänker fel?

Som Laguna skriver så måste väl ditt svar på B vara bättre än facits och plustecknet bör ersättas med komma eller semikolon som jag föredrar.

Laguna skrev:
Står det exakt så där i facit? Plustecknet mellan parenteserna borde vara ett komma. Ditt uttryckssätt ser i alla fall rätt ut för mig.

Extrakollade nu och i b) står det exakt så som jag skrivit här - det är + mellan parenteserna inom den hårda parentesen.

Är väl mest en detalj kanske, men tänker att antingen skriver man så som jag gjort eller så som det står i facit, fast med komma eller semikolon (så som ni förespråkar).

Laguna skrev:
Får man inte veta om planen har passerat punkten P redan?

De åker mot punkten P. Initialt är de båda -100 ifrån P, i vardera riktning.

Laguna skrev:
Du vet avståndet mellan dem. Finn minimum genom att derivera.

Menar du derivera $X_{A B}$ (t) ?

Pompan skrev:
Laguna skrev:
Du vet avståndet mellan dem. Finn minimum genom att derivera.
Menar du derivera $X_{A B}$ (t) ?

Avståndet mellan dem är längden av vektorn $X_{AB}(t)$ .

Laguna skrev:
Pompan skrev:
Laguna skrev:
Du vet avståndet mellan dem. Finn minimum genom att derivera.
Menar du derivera $X_{A B}$ (t) ?
Avståndet mellan dem är längden av vektorn $X_{AB}(t)$ .

Menar du...

$X_{A B}$ = $d / d t (\sqrt{(- 100 + 800 t)^{2} + (- 100 + 600 t)^{2}})$

? Jag får dock det till 0.

Pompan skrev:
Laguna skrev:
Pompan skrev:
Laguna skrev:
Du vet avståndet mellan dem. Finn minimum genom att derivera.
Menar du derivera $X_{A B}$ (t) ?
Avståndet mellan dem är längden av vektorn $X_{AB}(t)$ .
Menar du...
$X_{A B}$ = $d / d t (\sqrt{(- 100 + 800 t)^{2} + (- 100 + 600 t)^{2}})$
? Jag får dock det till 0.

Ja. Hur får du det till 0? (Derivatan ska sättas till 0, men den ska inte alltid vara 0.)

Edit: tillägg: $X_{AB}$ är inte lika med det där uttrycket, men det är det uttrycket som är det intressanta.

Laguna skrev:
Pompan skrev:
Laguna skrev:
Pompan skrev:
Laguna skrev:
Du vet avståndet mellan dem. Finn minimum genom att derivera.
Menar du derivera $X_{A B}$ (t) ?
Avståndet mellan dem är längden av vektorn $X_{AB}(t)$ .
Menar du...
$X_{A B}$ = $d / d t (\sqrt{(- 100 + 800 t)^{2} + (- 100 + 600 t)^{2}})$
? Jag får dock det till 0.
Ja. Hur får du det till 0? (Derivatan ska sättas till 0, men den ska inte alltid vara 0.)
Edit: tillägg: $X_{AB}$ är inte lika med det där uttrycket, men det är det uttrycket som är det intressanta.

Tog WolphramAlpha till hjälp och den spökade lite med svaret haha

Din edit är helt korrekt ang $X_{A B}$ är helt korrekt! Min tabbe. Tack för hjälpen! Löste uppgiften nu :)

Om någon nu stöter på samma problem gjorde jag såhär:

Deriverade uttrycket (korrekt den här gången)

$d / d t (\sqrt{(- 100 + 800 t)^{2} + (- 100 + 600 t)^{2}}) = \frac{t - 0.14}{\sqrt{(t - 0.14)^{2} + + 0.1804}}$

Vilket enbart blir noll om $t = 0.14, t \in R$

Sätt in $t = 0.14$ i uttrycket för vektorlängden mellan A & B:

$\sqrt{(- 100 + 800 (0.14))^{2} + (- 100 + 600 (0.14))^{2}} = \sqrt{400} = 20$

Tack både Pompan och Laguna för lektionen.

Det tog ett tag för mig att förstå deriveringen, men med hjälp av kedjeregeln som jag hittade i matte 4 så kom jag närmare.

Med $X_{A B} = 10^{3} \sqrt{t^{2} - 0, 28 t + 0, 02}$ som gick att få fram med hjälp av kvadreringsregeln, så kunde jag konstatera att $t = 0, 14$ stämmer. Då gick det att studera kurvan i grafräknaren också.

Deriveringen hade jag problem med, men kom till $X'_{A B} = 10^{3} \frac{(t - 0, 14)}{\sqrt{(t - 0, 14)^{2} + 0, 0004}}$

Kanske det bara är brister i mina mattekunskaper, men är tacksam om ni har lust att kolla om det stämmer?

Man kan göra det lite lättare för sig genom att låta bli att ta kvadratroten, och söka minimum för kvadraten av sträckan. Det går lika bra, eftersom kvadraten på sträckan växer när sträckan växer.

En helt annan lösning är att låta ett av flygplanen vara origo och alltså stå still (det får vara en helikopter) medan det andra flygplanet rör sig med båda hastighetsvektorerna. Då blir problemet att bestämma en punkts avstånd till en linje, och man behöver bara geometri med likformiga trianglar, och bryr sig inte om tiden alls.

Laguna skrev:
Man kan göra det lite lättare för sig genom att låta bli att ta kvadratroten, och söka minimum för kvadraten av sträckan. Det går lika bra, eftersom kvadraten på sträckan växer när sträckan växer.

Oj det var häftigt! Lite riskabelt är det förstås om man inte är 100 på vad man gör.

Pompan, det skulle vara intressant om du ville jämföra ditt och mitt resultat av deriveringen och se vad du tror om resultatet.

Gott Nytt År på er alla om vi inte möts på en annan tråd innan :-)

ConnyN skrev:
Pompan, det skulle vara intressant om du ville jämföra ditt och mitt resultat av deriveringen och se vad du tror om resultatet.
Gott Nytt År på er alla om vi inte möts på en annan tråd innan :-)

Gott nytt!

Resultatet av våra deriveringar skiljer sig enbart åt med en konstant: jag fick 0.1804 och du fick 0.0004

Vilket i detta fall inte gör någon skillnad då båda våra tal enbart kan bli noll om t = 0.14 :)

(Täljare blir 0 och nämnare är skiljt från 0 i båda fallen).

Svara

Visa senaste svar