Relativitetsteori: Hur långt rör sig en pimeson under sin livstid?

Det känns som jag gör rätt på uppgift a, men är osäker på b.

Någon som kan knuffa mig i rätt riktning?

Frågan lyder:

En laddad pimeson har en medellivstid pa $t_0=2.6\times {10}^{-8}$ i sitt vilosystem.

a) Hur lång väg (L) går den i medeltal enligt klassisk mekanik, om den har en kinetisk energi på 180 MeV?

b) Hur lång väg L_0 (i laboratoriesystemet) går den i medeltal med relativistisk mekanik?

Pimesonens massa är 140 MeV/c2.

Lösning:

a)

Jag börjar med att hitta pimesonens hastighet enligt: $E=\frac{m{v}^2}{2} \iff v=\sqrt{\frac{2E}{m}}$

Som ger: $v=\sqrt{\frac{2*180}{140}}=\sqrt{\frac{360}{140}}=1.6c$

Använder sedan $s=v\times t=1.6c\times 2.6\times {10}^{-8}=1.6(3\times {10}^{-8})\times 2.6\times {10}^{-8}=12.48m$

b)

Här använder jag mig av formeln: $E=(\gamma -1)m{c}^2=\gamma m{c}^2-m{c}^2$ och löser sedan ut v, som gav mig:

$v=\sqrt{c^2-\frac{c^2}{\left(\left({\displaystyle \frac{E^2}{m^2{c}^4}}\right)+\left({\displaystyle \frac{2E}{m{c}^2}}\right)+1\right)}}$

När jag sätter in värden får jag att:

$v=0.85c$

Sedan använder jag:

$s=v\times t=0.85(3\times {10}^8)(2.6\times {10}^{-8})=6.63m$

Sedan längdkontraktionen:

$L=\frac{L_0}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}=\frac{6.63}{\sqrt{1-0.{85}^2}}=\frac{6.63}{\sqrt{0.2775}}=12.85m$

Tack!