Relativitetsteori

.

Hej Daja,

Jag tror du slarvat lite med latexen / skrivit av fel, längden som uppmäts av en stillastående betraktare blir (dvs det du vill visa)

$L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}cos^2(\theta_0)}$

Jag tycker att det första du ska göra är att tänka igenom vad som händer och rita figur! Kalla koordinatsystemet som "rör på sig", dvs koordinatsystemet som följer med staven för x' och y'.  Labbsystemet som står still (i vilket staven svischar förbi) kallas xy

Hade staven legat helt utmed x-axeln hade det här varit en väldigt enkel uppgift. Då hade staven förkortats i x-led enligt en enkel formel (vilken?).

Nu är det istället bara den horisontella komponenten som kontraheras. Det gör att staven (med ändpunkter A och B) både kontraheras och (!) roteras. Hur kan man skriva det på "matematiska"?

Tack för hjälpen!

Det är helt möjligt att jag har slarvat. Jag förstår inte uppgiften så jag bara kopierade rakt av utan att tänka. Det står sådär i övningen.

Så du menar att om det har varit helt horizontell skulle vi ha formeln $L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$?

Måste det se ut såhär?

http://sketchtoy.com/68137384

Varför är det ${\cos }^2$?

Daja skrev :

Så du menar att om det har varit helt horizontell skulle vi ha formeln $L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$?

Just det! Tänk vad enkelt det hade varit om staven bara låg utmed x-axeln! :)

Men nu är det alltså bara x-komposanten av din stav som kontraheras, y-komposanten påverkas inte. I vilosystemet vet du att x'-komposanten till staven är $L_0 cos(\theta_0)$, Vad blir alltså den horisontella x-komposanten i labbsystemet?

Y-komposanten av staven förändras inte, den är och förblir $L_0sin(\theta_0)$.

Nu kan du beräkna den nya längden L med hjälp av pythagoras sats!

Förlåt, orkar du skissa en ritning? Jag tror att jag börjar att se logiken. Fråga 2. är i alla fall sin/cos = tan så inga konstigheter dit...

Vi har en stav som är $L_0$ lång i sitt vilosystem (x'y'). Staven bildar vinkeln $\theta_0$ mot x'-axeln.

Vi nu tänker oss att vi, du och jag, befinner oss i ett annat system, ett laboratorium. Vårt system heter xy.

I vårt laboratorium ser vi hur staven (och hela dess system x'y') flyger förbi med hastigheten $\mathbf{v}$. Frågan är nu hur lång staven ser ut att vara för oss, samt vilken vinkel den bildar med x-axeln.

Ur figuren ser vi  att i systemet x'y' gäller

x-led $x'_B-x'_A=L_0cos(\theta_0)$

y-led $y'_B-y'_A=L_0sin(\theta_0)$

Tidigare konstaterade du att en stav som ligger parallellt med x-axeln får en ny längd L enligt:

$L=\frac{L_0}{\gamma}=L_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{1/2}$

Din uppgift är nu att göra samma sak med x-komponenten av staven. y-komponenten är vinkelrät mot x'y'-systemets rörelse relativt xy och lämnas därför oförändrad.

Sedan är det bara att använda pythagoras sats för att lägga ihop de vinkelräta komponenterna för den nya längden L.

😮 vad proffsigt och bra förklarat.

Det är i te ytterst komplicerat egentligen. Kan vi bara räkna ut L enligt formeln och multiplicera slut resultat med Cos theta? (som man gör när y komponent av en kraft bromsar bilen?)

Du har rätt i att är väldigt likt hur man räknar med krafter eftersom det är vektorer (pilar med längd och riktning).

Det spelar mycket riktigt ingen roll om du multiplicerar med $1/\gamma$ först och sedan $cos(\theta)$ eller tvärtom.

Men det är alltså bara i x-led du ska kontrahera staven. Du får inte använda "formeln" på y-delen av staven :)

$L_x=\frac{L_0cos(\theta_0)}{\gamma}$  

$L_y=L_0sin(\theta_0)$    <-- notera, inget gamma, ingen kontraktion i y-led.

Den nya längden L blir alltså (pythagoras sats)

$L=\left( L_x^2+L_y^2\right)^{1/2}=\left([1-\frac{v^2}{c^2}]L_0^2cos^2(\theta_0)+L_0^2sin^2(\theta_0)\right)^{1/2}$

$L=L_0\left( 1-\frac{v^2}{c^2}cos^2(\theta_0)\right)^{1/2}$

Och den nya vinkeln blir som du själv påpekade:

$tan(\theta)=\frac{L_y}{L_x}=\gamma\frac{sin(\theta_0)}{cos(\theta_0}=\gamma tan(\theta_0)$

Vi ser att staven som rör sig blir både kortare och roteras!

Att saker som rör sig blir kortare kallas Lorentzkontraktion (eller längdkontraktion) och sker bara i rörelseriktningen. Hade vi lagt staven längs  y-axeln istället skulle det inte hänt något med dess längd, däremot hade dess bredd påverkats.

Jag är jätte tacksam för dina svar. Jag tror jag typ förstå, jag måste nog bara öva på det!