Relativitet - Smält is

Om vi tänker vad som händer: Du vet att när isen har smält så blir den "varmare" (egentligen inte här, men för att smälta is måste vi lägga in energi för att få en fasövergång. ). Det Einstein sa var att energi egentligen är samma sak som massa. Det är det hans kända formel $E=mc^2$ säger. Den relaterar massa till energi. Så när du lägger in energi i din is, då har du mer energi och givet det så kommer du också få att du har mer massa. Energi och massa är ju nästan samma sak. 

Man kan säga att det Einstein kom på var att massa är en väldigt koncentrerad form av energi.

Din beräkning ser ut att vara rätt. Du uttrycker smältentalpin (en energi som går åt att få loss de fastfrusna molekylerna och göra en vätska av dom igen) för en massa som vi kan kalla M (eftersom det är en stor massa) som $\nabla H_{smält}=M\times 334\times {10}^{3}J/kg$ och du uttrycker och beräknar energin som svarar mot ökningen av massa om 1 gram som $\nabla E=m{c}^2={10}^{-3}(3\times {10}^8{)}^2=9\times {10}^{13}J$.

Genom att söka den massa M som har samma smältentalpi får du $\nabla E=\nabla H_{smält}\Rightarrow M=\frac{9\times {10}^{13}}{334\times {10}^3}\approx 270\times {10}^{6}kg$.

Det du gör åtminstone lite fel är att du skriver ett samband $334\times {10}^3\times m=m\times c^2$ som om det vore samma massa. Du borde göra tydligare att det handlar om olika massor; $334\times {10}^3\times M_{smält is}=m_{massökning}\times c^2$ där du vet att massökningen är 1g och mängden smält is är det som söks. Känns det rimligt.

Vad gäller din andra fråga så är det du tänker korrekt, och det är infarten till något som kallas tvillingparadoxen. Den har en lösning som har att göra med att man reder ut effekterna av acceleration; en acceleration som måste till för att tvillingarna (i paradoxens tankeexperiment) ska kunna ändra hastighet och mötas igen och jämföra ålder.