relativ felgräns för funktion

x är alltså minst 1.92 och högst 2.08

Kommer du vidare nu?

Hej!

Det relativa felet för funktionen $f$ är lika med kvoten $\frac{\text{d}f}{f}.$ Differentialen $\text{d}f$ bestäms av funktionens $f$ partiella derivator.

    Error converting from LaTeX to MathML

De relativa felet för variabeln $x$ är

    $\text{Rel}(x) = \frac{\text{d}x}{x}$

vilket låter dig uttrycka differentialen som

    $\text{d}x = \text{Rel}(x) \cdot x$.

På samma sätt kan de övriga variablernas differentialer uttryckas. Det ger det sökta resultatet:

    Error converting from LaTeX to MathML

Här har jag använt logaritmisk derivering för var och en av de tre variablerna, det vill säga

    $\displaystyle \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{f} = \frac{\partial \log f}{\partial x}.$

För funktionen $f(x,y,z) = x^2y^2z^3$ är $\log f = 2\log x + 2\log y + 3\log z$ och dess gradientvektor är

    $\nabla \log f = (\frac{2}{x},\frac{2}{y},\frac{3}{z})$

vilket ger följande relativa fel.

    Error converting from LaTeX to MathML

Albiki

Hej!

Det relativa felet blir $\text{Rel}(f) = 0.23.$

(Nu ska det väl inte bli Error converting from LaTeX to BlähML.)

Albiki

Om det finns någon som bryr sig: För att undvika Error converting from LaTeX to BlähML förhandsgranskade jag varenda formel i mitt ovanstående inlägg. Varje granskning i Wiris-fönstret visade formler som såg acceptabla ut. Vid postning av inlägget kom ovanstående fantastiska resultat fram. 

Jag antar att det är min laptop som är orsaken till detta, och att man vill veta vilken hyperprocessortyp datorn använder, vilket kvasiklockfrekvens den grantihårda disken kör på, hur mycket neurotiskt ramminne jag använder, och andra självklara saker som varje datoranvändare förväntas kunna. Eller kan det möjligen vara kopplat till mantrat som tycks ha adopterats i och med lanseringen av Nya Pluggakuten: Ladorna är tomma! Ladorna är tomma! Ladorna är tomma! (En nickning till de första orden vår finansminister sa vid sitt tillträde.)?

Albiki

@Bubo

Ja, så mycket förstår jag men jag vet inte hur jag ska använda det för att göra en uppskattning på relativfelgränsen i mitt uttryck. Ska jag sätta typ $x=(2\pm 0.08{)}^2$ och detsamma för $y, z$ i mitt funktionsuttryck?

@Albiki

Är obekant med gradientvektorer, din metod känns en aning överkurs för mig just nu. Var kan jag läsa mer om detta?

Ursäkta bumpen, men känner att det är onödigt att skapa en ny tråd för ett liknande problem.

Säg att jag har $f\left(x\right)=x^2$ som har ett relativfel på $2\%$ och jag vill veta hur felfortplanteringen då blir för mitt funktionsvärde.

Så som jag förstår det blir absolutfelfortplanteringen ${\epsilon }_y\approx {\epsilon }_{x}f\text{'}\left(\tilde{x}\right)$ men hur kan jag skriva om detta så att det gäller relativfel? Ska jag försöka taylorutveckla runt $f\left(\frac{\tilde{x}}{{\epsilon }_r+1}\right)$?

Förstår nu, tack för hjälpen!

Någon som skulle kunna förklara varför relativa felet ges av $r_f=\frac{\partial f}{f}$?

Edit:

Gjorde så här:

$$\begin{gathered} r_f=\frac{\partial f}{f}=\frac{{\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(x^2{y}^2{z}^3\right)}{x^2{y}^2{z}^3}+\frac{\frac{d}{dy}\left(x^2{y}^2{z}^3\right)}{x^2{y}^2{z}^3}+\frac{\frac{d}{dz}\left(x^2{y}^2{z}^3\right)}{x^2{y}^2{z}^3} \\ =\frac{2x{y}^2{z}^3}{x^2{y}^2{z}^3}dx+\frac{2y{x}^2{z}^3}{x^2{y}^2{z}^3}dy+\frac{3z^2{x}^2{y}^2}{x^2{y}^2{z}^3}dz \\ =\frac{2}{x}dx+\frac{2}{y}dy+\frac{3}{z}dz \end{gathered}$$

och:

$\left\{\begin{array}{c}dx=x·r_x=2·0.04=0.08\\ dy=y·r_y=3·0.03=0.09\\ dz=z·r_z=4·0.03=0.12\end{array}\right.$

Vilket ger att:

$$\begin{gathered} r_f=\frac{2}{x}dx+\frac{2}{y}dy+\frac{3}{z}dz=\frac{2}{2}0.08+\frac{2}{3}0.09+\frac{3}{4}0.12 \\ =0.23 \end{gathered}$$

Minounderstand skrev :

Någon som skulle kunna förklara varför relativa felet ges av $r_f=\frac{\partial f}{f}$?

För att det är definitionen av relativt fel.

Med den notationen framgår det ganska självklart, det har du rätt i.

Hej!

När jag använde logaritmisk derivering så hoppades jag att du skulle notera sambandet mellan relativt fel och absolut fel: Det relativa felet hos funktionen $f$ är samma sak som det absoluta felet hos funktionen $\log f$. 

    $\displaystyle \text{Rel}(f)=\frac{\text{d}f}{f} = \text{d}\log f$.

Det absoluta felet hos $\log f$ ges av dess partiella derivator och de absoluta felen hos funktionens argument. 

    $\displaystyle \text{d}\log f = \sum_{k=1}^{3} x_k \cdot \frac{\partial \log f}{\partial x_k} \text{Rel}(x_k)$.

Detta visar att om $x_k\frac{\partial \log f}{\partial x_k} > 1$ så är det viktigt att det relativa felet hos $x_k$ är litet för att det relativa felet $\text{Rel}(f)$ ska vara litet. 

Albiki