Relationer - Diskret Matte
Hej!
Jag har en fråga jag klurat på länge men blir inte riktigt klok på:
Denna relation ska jag ge en fullständig utredning av vilka av egenskaperna reflexivitet, symmetri, antisymmetri och transitivitet som den här relationen har. Om relationen har en av dessa egenskaper, bevisa detta, om relationen saknar en av dessa egenskaper ge exempel som illustrerar att så är fallet. (Alla egenskaper ska utredas.)
aRb ⇔ ∃k ∈ Z : a + k^2 = b
Relationen är reflexiv då k = 0. Alltså aRa, a = 1.
a + k^2 = a, 1 + 0 = 1 .
Relationen är inte symmetrisk då det inte finns något k^2 som kan bli negativt, aRb --> bRa, exempel: a = 1, b= 2, a + k^2 = b --> b + k^2 = a, alltså 1 + k^2= 2 --> 2 + k^2 = 1, första k^2 = 1 men i andra fallet går det inte då vi måste få ett negativt tal.
Anti symmetri gäller ju när aRb & bRa --> a = b, här förstår jag inte hur jag ska tänka och vilka värden som k ska anta, vi ska ju ha olika värden på K i aRb och i bRa, men jag får inte till hur jag ska tänka..
a + k^2 = b & b + k^2 = a --> a = b , HUR?? HJÄLP
aRb <=> det finns k så att a + k^2 = b
bRa <=> det finns p så att b + p^2 = a
Vad får du om du stoppar in b från den första ekvationen i den andra? Vilka värden får k och p då?
Ja alltså om a = 1 och b = 2 så är k = 1 och inget p^2 kan bli negativt då den är upphöjd med 2 så det går liksom inte? och om a = b alltså a = 1 och b = 1 så måste k = 0 och p = 0, vilket känns ologiskt då de är olika tal?
jasminsofia skrev:Ja alltså om a = 1 och b = 2 så är k = 1 och inget p^2 kan bli negativt då den är upphöjd med 2 så det går liksom inte?
Sant, men inte relevant :) man måste bevisa att om a och b uppfyller att aRb och bRa, då är a = b (det räcker inte med exempel om du vill visa att det gäller).
och om a = b alltså a = 1 och b = 1 så måste k = 0 och p = 0, vilket känns ologiskt då de är olika tal?
De kan vara olika tal, men de behöver inte vara det. I alla fall, om du börjar med a = b då bevisar du den omvända implikationen. Du ska börja med aRb och bRa.
Är du med?
Så relationen är inte anti symmetrisk då: a = 1 och b = 2
a + k^2 = b , 1 + k^2 = 2, k^2 = 2-1= 1
b + p^2 = a, 2 + p^2 = 1, p^2 = 1-2= -1
ab
Då svaren på aRb och bRa är olika kan inte relationen uppfylla anti-symmetri
typ så?
Men p^2 kan väl inte vara - 1, det är ju en kvadrat?
Jag hade tittat på om det finns några krav på om a eller b behöver vara störst om aRb.
Mja, eftersom 2 och 1 ingår inte i R (alltså 1R2 men 2inteR1).
Men det är inte vad du själv skrev som definitionen på anti-symmetri. Om du börjar med 2 tal a och b så att både aRb och bRa gäller, då vet du att det finns k och p (inte nödvändigtvis olika) så att a + k^2 = b och b + p^2 = a.
Om du stoppar b i från första ekvationen i den andra får du a + k^2 + p^2 = a, alltså k = p = 0. Men om du nu stoppar de tillbaka i de ursprungliga ekvationerna så får du a + 0^2 = b (och tvärtom), alltså precis vad du ville bevisa.
Förstår du resonemangen? :D
Ja! Jag fattar, tänkte så ett tag men trodde inte man fick blanda aRb och bRa!! Tack!
