Rekursiv talföljd

En talföljd är definierad genom rekursionsformeln

$a_{n + 1} = \sqrt{5 a_{n}}$ , $a_{1} = 1$

visa att 0 < $a_{n}$ < 5

Jag tänkte att funktionen var växande så $a_{n + 1} = \sqrt{5 a_{n}} > \sqrt{5}$

Jag ser också att om den konvergerar så konvergerar den mot 5 eller 0. Men jag vet inte hur jag ska gå till väga.

Har du ritat?

Bra, du har visat att värdena är större än 0. För att visa att alla värden är mindre än 5 kan du t ex använda induktion. Om a_n är mindre än 5 vad gäller då för nästa element i följden?

Hur vet jag att a_n <5 ?

Porkshop skrev:
Hur vet jag att a_n <5 ?

Räkna ut värdet för de första 7-8 termerna.

Porkshop skrev:
Hur vet jag att a_n <5 ?

Frågan var "om a_n < 5, vad gäller då för nästa element?" En sådan fråga är en del av ett induktionsbevis.

Jag får lösningen till att bli som följande, är det korrekt?

$a_{n + 1} = \sqrt{5 a_{n}}, a_{1} = 1$

Om denna följd konvergerar gör den antingen det mot 0 eller 5.

Om $a_{n} < 5 \Rightarrow a_{n + 1} = \sqrt{5 a_{n}} < \sqrt{5 * 5} = 5$

Därmed är följden uppåtbegränsad för alla startvärden mindre än 5 och större än 0

Följden är växande om $a_{n} < a_{n + 1} \Leftrightarrow a_{n} - \sqrt{5 a_{n}} < 0 \Leftrightarrow a_{n} \frac{a_{n} - 5}{a_{n} + \sqrt{5 a_{n}}} < 0$

Vilket är sannt då $a_{n} < 5$ Därmed är följden uppåt begränsad och växande och måste därmed konvergera mot 5

Svara

Visa senaste svar