rekursiv formel /sluten formel / fibonacci talföljden / variabel betydelse

Välkommen till Pluggakuten! $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ betyder i princip att "element nr. n + 2 i följden är summan av element n och element n + 1", med andra ord att ett element i följden är summan av de två tidigare elementen. $a_n$ har samma betydelse oavsett vilken typ av formel det handlar om, och betyder helt enkelt "det n:te elementet i talföljden". :)

Du tänker rätt men det är inte tydligt vad din fråga egentligen är. Vi har:

$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$

$a_n$ - Detta är det n:te talet i talföljden

$a_{n-1}$ - Detta är det n-1:te talet i talföljden

$a_{n-2}$ - Detta är det n-2:te talet i talföljden

Alltså har vi att eftersom $a_1=0$ och $a_2=1$ får vi:

$a_3=0+1=1$

$a_4=1+1=2$

etc.

Detta ger:

$Fibonacci=\left\{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...\right\}$

Vad är oklart?

Hej tack för era svar!

För att vara tydligare, undrar jag specifikt om betydelsen för variabelsymbolen "a_n"_i den rekursiva formeln  "a_n+2 = a_n+1 + a_n" för Fibonacci-talföljden . Med startpunkt från variabelns betydelse i den slutna allmänna formeln för aritmetisk-talföljd, så tolkar jag att den där betyder ungefär: ”talet ’a’ med positionen ’n’”, så att exempelvis tredje talet i en talföljd därför får variabeln "a₃"_.

Exempelvis om du vill ha det tredje talet genom den slutna formeln "a_n = a₁ + (n-1)*d"

för den aritmetiska talföljden ”5,10,15,20,15,…” Ger detta följande räkne-kedja:

a_n = a₁ + (n-1) * d

 a₃ = 5 + (3-1) * 5

 a₃ = 5 + (2) * 5

a₃ = 5 + 10

a₃ = 15

När jag tidigare fortsatt använda samma betydelse för "a_n" från ovan slutna aritmetiska formel, i den rekursiva formeln för Fibonacci-talföljdens (exempelvis) tredje tal, har jag inte fått det att fungera med den ena formeln (a) ” a_n+2 = a_n+1 + a_n ”. Andra varianten:  (b)” a_n = a_n-1 + a_n-2 ” har jag greppat nu, då betydelsen ”talet ’a’ med positionen ’n’ ” fungerar bra där.

Exempelvis om jag vill ha Fibonacci-talföljdens sjunde tal med formel ”(b)”:

a_n = a_n-1 + a_n-2

a₇ = a_7-1 + a_7-2

a₇ = a₆ + a₅

(enligt med hur rekursiva formel fungerar måste jag här själv redan veta "a₆" och " a₅" för att lösa vad " a₇" är) (1, 1, 2, 3, 5 , 8 , 13, 21, 34, ... )

a₇ = 8 + 5

a₇ = 13

Sist om jag vill ha Fibonacci-talföljdens sjunde tal med formel ”(a)”:

a_n+2 = a_n+1 + a_n (jag börjar med att sätt in index nummer sju)

a₇₊₂ = a₇₊₁ + a₇

a₉ = a₈ + a₇

34 = 21 + 13 (vilket stämmer, men jag ville ju ha det sjunde talet 13 ( a₇) inte det nionde talet 34 ( a₉)

Utifrån ovan tänker jag därför att jag inte förstår betydelsen av " a_n" i den rekursiva formeln " a_n+2 = a_n+1 + a_n" för Fibonacci-talföljden.

Hej!

Om du vill använda

    $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$

för att finna talet $a_7$ så ska du välja $n=5$ och inte sju som du gjort. Då ger sambandet

   $a_{5+2}=a_{5+1}+a_5.$

octa skrev:

Hej tack för era svar!

För att vara tydligare, undrar jag specifikt om betydelsen för variabelsymbolen "a_n"_i den rekursiva formeln  "a_n+2 = a_n+1 + a_n" för Fibonacci-talföljden . Med startpunkt från variabelns betydelse i den slutna allmänna formeln för aritmetisk-talföljd, så tolkar jag att den där betyder ungefär: ”talet ’a’ med positionen ’n’”, så att exempelvis tredje talet i en talföljd därför får variabeln "a₃"_.

Helt korrekt.

Exempelvis om du vill ha det tredje talet genom den slutna formeln "a_n = a₁ + (n-1)*d"

för den aritmetiska talföljden ”5,10,15,20,15,…” Ger detta följande räkne-kedja:

a_n = a₁ + (n-1) * d

 a₃ = 5 + (3-1) * 5

 a₃ = 5 + (2) * 5

a₃ = 5 + 10

a₃ = 15

När jag tidigare fortsatt använda samma betydelse för "a_n" från ovan slutna aritmetiska formel, i den rekursiva formeln för Fibonacci-talföljdens (exempelvis) tredje tal, har jag inte fått det att fungera med den ena formeln (a) ” a_n+2 = a_n+1 + a_n ”. Andra varianten:  (b)” a_n = a_n-1 + a_n-2 ” har jag greppat nu, då betydelsen ”talet ’a’ med positionen ’n’ ” fungerar bra där.

Exempelvis om jag vill ha Fibonacci-talföljdens sjunde tal med formel ”(b)”:

a_n = a_n-1 + a_n-2

a₇ = a_7-1 + a_7-2

a₇ = a₆ + a₅

(enligt med hur rekursiva formel fungerar måste jag här själv redan veta "a₆" och " a₅" för att lösa vad " a₇" är) (1, 1, 2, 3, 5 , 8 , 13, 21, 34, ... )

a₇ = 8 + 5

a₇ = 13

Sist om jag vill ha Fibonacci-talföljdens sjunde tal med formel ”(a)”:

a_n+2 = a_n+1 + a_n (jag börjar med att sätt in index nummer sju)

a₇₊₂ = a₇₊₁ + a₇

a₉ = a₈ + a₇

34 = 21 + 13 (vilket stämmer, men jag ville ju ha det sjunde talet 13 ( a₇) inte det nionde talet 34 ( a₉)
Utifrån ovan tänker jag därför att jag inte förstår betydelsen av " a_n" i den rekursiva formeln " a_n+2 = a_n+1 + a_n" för Fibonacci-talföljden.

Du förstår betydelsen, men du har blandat ihop siffrorna lite grann. Om du vill använda formel (a) och få fram det sjunde elementet, måste du sätta n så att du får a₇ i vänsterledet, alltså n = 5. 

Kuriosa är att det faktiskt finns en sluten formel för fibonnacitalen, men den är krånglig. Den går dock att härleda exempelvis med hjälp av linjär algebra. :)

Smutstvätt skrev:

Kuriosa är att det faktiskt finns en sluten formel för fibonnacitalen, men den är krånglig. Den går dock att härleda exempelvis med hjälp av linjär algebra. :)

Går annars att använda gyllene snittet enligt Binets formel för n:te Fibonaccitalet:

$F\left(n\right)=\frac{{\varphi }^n-(1-\varphi {)}^n}{\sqrt{5}}$

där $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Jag tror att det är den formeln (eller något snarlikt) som man kommer fram till. :)

Hej, tack allihopa för era inlägg !

Varsågod! :)