Rekursion och gränsvärden

Jag är osäker hur de får fram $a$. Här är ett (mer roligt än användbart) sätt att göra det på:
Vi vet att
$\displaystyle a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_n}$
Men om vi byter ut $a_n$ med hjälp av rekursionen får vi
$\displaystyle a_{n+1}=1 + \frac{1}{1+ \frac{1}{a_{n-1}}}$
$\displaystyle a_{n+1}=1 + \frac{1}{1+ \frac{1}{1+\frac{1}{a_{n-2}}}}$
Om vi fortsätter så $n-1$ gånger får vi att
$\displaystyle 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \cdots{}+\frac{1}{1 + \frac{1}{a_1}}}}$
Om vi då låter $n$ gå mot oändlighet får vi att
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \cdots{}}}$
för alltid. 
Om vi låter $\displaystyle a=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \cdots{}}}$
Om vi kollar på innehållet under det första bråkstrecket ser vi att det är exakt definitionen av $a$. Det är $\displaystyle1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \cdots{}}}$ för alltid.
På så sätt får vi att $a = 1+\frac 1a$

Jag vet inte hur de faktiskt tänker sig att man ska få fram $a$ dock. Detta var det enda jag kom på

AlexMu skrev:

Jag är osäker hur de får fram $a$. Här är ett (mer roligt än användbart) sätt att göra det på:
Vi vet att
$\displaystyle a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_n}$
Men om vi byter ut $a_n$ med hjälp av rekursionen får vi
$\displaystyle a_{n+1}=1 + \frac{1}{1+ \frac{1}{a_{n-1}}}$
$\displaystyle a_{n+1}=1 + \frac{1}{1+ \frac{1}{1+\frac{1}{a_{n-2}}}}$
Om vi fortsätter så $n-1$ gånger får vi att
$\displaystyle 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \cdots{}+\frac{1}{a_1}}}$
Om vi då låter $n$ gå mot oändlighet får vi att
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \cdots{}}}$
för alltid. 
Om vi låter $\displaystyle a=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \cdots{}}}$
Om vi kollar på innehållet under det första bråkstrecket ser vi att det är exakt definitionen av $a$. Det är $\displaystyle1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \cdots{}}}$ för alltid.
På så sätt får vi att $a = 1+\frac 1a$

Jag vet inte hur de faktiskt tänker sig att man ska få fram $a$ dock. Detta var det enda jag kom på

Aa men tack för hjälpen! Jag fattar lite mer nu än vad jag gjorde tidigare :)

Nameep skrev:

AlexMu skrev:

Jag är osäker hur de får fram $a$. Här är ett (mer roligt än användbart) sätt att göra det på:
Vi vet att
$\displaystyle a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_n}$
Men om vi byter ut $a_n$ med hjälp av rekursionen får vi
$\displaystyle a_{n+1}=1 + \frac{1}{1+ \frac{1}{a_{n-1}}}$
$\displaystyle a_{n+1}=1 + \frac{1}{1+ \frac{1}{1+\frac{1}{a_{n-2}}}}$
Om vi fortsätter så $n-1$ gånger får vi att
$\displaystyle 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \cdots{}+\frac{1}{a_1}}}$
Om vi då låter $n$ gå mot oändlighet får vi att
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \cdots{}}}$
för alltid. 
Om vi låter $\displaystyle a=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \cdots{}}}$
Om vi kollar på innehållet under det första bråkstrecket ser vi att det är exakt definitionen av $a$. Det är $\displaystyle1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \cdots{}}}$ för alltid.
På så sätt får vi att $a = 1+\frac 1a$

Jag vet inte hur de faktiskt tänker sig att man ska få fram $a$ dock. Detta var det enda jag kom på

Aa men tack för hjälpen! Jag fattar lite mer nu än vad jag gjorde tidigare :)

Jag gissar att man kan göra någon motivation att eftersom termerna kommer arbiträrt nära varandra när $n \to \infty$ så är $a_{n+1}$ "=" $a_n$ och på så sätt får de definitionen för $a$. Men jag kan inte så mycket om sådant.