Rekurrensekvation; ansats till den partikulära lösningen

En inhomogen rekurrensekvation löses genom att addera den homogena lösningen med den partikulära lösningen.

Homogena lösningen $x_n^h$:
Den karakteristiska ekvationen är $r^2-2r-3=0$.

$$\begin{gathered} r=-\frac{(-2)}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-2}{2}\right)}^2-\left(-3\right)} \iff 1\pm \sqrt{4}\iff 1\pm 2 \\ {r}_1=-1, r_2=3 \end{gathered}$$

Med dessa kan vi skapa uttrycket för den allmänna homogena lösningen
$\because x_n^h=(-1)A^n+3B^n$

Partikulära lösningen $x_n^h$:
Vår ansats ska matcha den inohomogena delens polynomtal...
$\because x_n^p=?$

$\because x_n=x_n^h+x_n^p=(-1)A^n+3B^n+[part.lösning]$

MEN! $x_0=1, x_1=2$

[Här gör jag ett ekvationsystem för att räkna ut A och B, vilket kommer att slutföra den slutgiltiga ekvationen]

Polynomtalet för $6\times 2^n$ är ju inte bestämt, och jag vet inte hur man ansätter sådana. Jag hittade i en anteckning att detta kan ansättas med $e\times 2^n$ men jag förstår inte riktigt varför. Skulle någon kunna förklara varför det blir denna ansats?
Tack