Rektangelns area

Tips: Sätt x att vara rektangelns bredd och r att vara halvcirkelns radie.

Då är rektangelns area A = x•r.

Använd nu att triangel ABC är likformig med triangel BCD för att hitta ett samband mellan x och r.

Man ser att om rektangeln dras ut på bredden tills den helt täcker halvcirkeln så blir ”6-sträckan horisontell, och sökta arealen 18.

Och trycker vi ihop triangeln till en kvadrat så blir arean likafullt 18.

Så uppgiften borde vara att visa att arean är 18 för alla mellanlägen. 

Mogens skrev:

Man ser att om rektangeln dras ut på bredden tills den helt täcker halvcirkeln så blir ”6-sträckan horisontell, och sökta arealen 18.

Och trycker vi ihop triangeln till en kvadrat så blir arean likafullt 18.

Så uppgiften borde vara att visa att arean är 18 för alla mellanlägen. 

... Hur ser man det?

Yngve skrev:

Tips: Sätt x att vara rektangelns bredd och r att vara halvcirkelns radie.

Då är rektangelns area A = x•r.

Använd nu att triangel ABC är likformig med triangel BCD för att hitta ett samband mellan x och r.

Hälften av A,C är radien. Ehm.. jag kan inte få ut något mer än så. X är 2r - ad. Ser inte hur jag ska få ut en vinkel eller en sida.

Dkcre skrev:

Hälften av A,C är radien. Ehm.. jag kan inte få ut något mer än så. X är 2r - ad. Ser inte hur jag ska få ut en vinkel eller en sida.

I den rätvinkliga triangeln ABC har hypotenusan AC längden 2r och den långa kateten BC har längden 6.

I den rätvinkliga triangeln BCD har hypotenusan BC längden 6 och den långa kateten CD längden x.

Efrersom trianglarna är likformiga så har vi att $\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}$, dvs $\frac{x}{6}=\frac{6}{2r}$.

Lös ut $x$ och sätt in i areaformeln $A=x\cdot r$.

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

Hälften av A,C är radien. Ehm.. jag kan inte få ut något mer än så. X är 2r - ad. Ser inte hur jag ska få ut en vinkel eller en sida.

I den rätvinkliga triangeln ABC har hypotenusan AC längden 2r och den långa kateten BC har längden 6.

I den rätvinkliga triangeln BCD har hypotenusan BC längden 6 och den långa kateten CD längden x.

Efrersom trianglarna är likformiga så har vi att $\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}$, dvs $\frac{x}{6}=\frac{6}{2r}$.

Lös ut $x$ och sätt in i areaformeln $A=x\cdot r$.

Jag var med på den likheten men trodde inte den skulle leda någonstans. Även om de är likformiga så kan man ju inte utläsa några proportioner i alla fall då man bara har en sida. Man får inte ut någon kvot, tänkte jag.

Men jag ser att ekvationen går ihop, är dock inte helt med på varför. Tycker det känns intuitivt orimligt. Får fundera lite över det.

Dkcre skrev:

Men jag ser att ekvationen går ihop, är dock inte helt med på varför. Tycker det känns intuitivt orimligt. Får fundera lite över det.

OK bra.

Fråga gärna om det är något speciellt du tycker känns icke-intuitivt.

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

Men jag ser att ekvationen går ihop, är dock inte helt med på varför. Tycker det känns intuitivt orimligt. Får fundera lite över det.

OK bra.

Fråga gärna om det är något speciellt du tycker känns icke-intuitivt.

Jag förstår inte varför det fungerar helt enkelt. Varför det blir rätt svar.

Vi får ut 36/2r så svaret blir 18.. vilket då blir arean på rektangeln. Jag vet att 18 är rätt svar så jag ser att det är korrekt, men om jag inte visste det är det inte troligt att jag hade grejat uppgiften.

Det här är ett bra exempel på en uppgift där det är svårt att i förväg veta vilken väg som är framkomlig och att det därför kan vara klokt att pröva sig fram.

Att börja med att konstatera  A = x•r är ganska lätt, och det känns som att x borde bero på r på något sätt. Det leder en att tro att även arean A kommer att bero på r.

Sedan är det inte självklart hur man ska hitta sambandet mellan x och r.

Jag började med att dra sträckan AB och funderade på om Pythagoras sats i de rätvinkliga trianglarna ABD och BCD skulle kunna hjälpa oss att hitta x.

Men när jag lagt in AB så insåg jag att även ABC är en rätvinklig triangel och då styrde jag in på likformighet istället.

Då var det lätt att uttrycka x med hjälp av r ich jagvsåg framför mig att arean A skulle bli ett uttryck där talet 6 och radien r ingår.

Men jag måste erkänna att även jag blev överraskad så jag såg att arean blev oberoende av r.

======

Du skriver att du inte förstår varför det fungerar, men måste du det? Räcker det inte med att det gör det?

Du skriver att du inte skulle kunnat lösa uppgiften om du inte visste att 18 a.e. var rätt svar, men varför inte?

Om du hade kommit fram till svaret 18 a.e. på egen hand, antingen med ovanstående metod eller någon annan, så hade du väl ändå misstänkt att det var rätt svar?

Speciellt om du hade gjort samma observation som Mogens beskrev i svar #3, att A = 18 a.e. I specialfallen x = 2r och x = r?

Jag fick ut den, men först efter en hel del svett och tårar (lyckligtvis inte blod). Jag trodde det var klart när jag insåg att triangeln ABC är rätvinklig, men ännu återstod en del möjligheter att räkna fel. 

Upplever att jag har svårt för matematik, och jag försöker träna på det nu med målsättningen att förhoppningsvis bli okej på det, enligt min egen standard. Om jag inte förstår varför saker jag gör fungerar så ser jag det som att jag inte förstår någonting alls.

Men du överskattar nog vad jag är med på och inte..

Tror inte jag hade misstänkt att det var rätt svar, för jag är inte helt med på vad 18 innebär. Vi jämför förhållandet mellan given triangel och den större triangeln vars ena katet är första triangelns hypotenusa, och vi får ut talet 18. Vi får ut att längden på den större triangelns hypotenusa måste vara 18? Vilket i sin tur också är arean på rektangeln? Jag är inte riktigt med..

Jag förstår inte Mogens observation heller. Om man drar ut diagonalen så kommer den att träffa hörnet på en rektangel som sträcker sig över diametern tolkar jag det? Och då har den rektangeln på något sätt samma area som den här mindre rektangeln?

Dkcre skrev:

Upplever att jag har svårt för matematik, och jag försöker träna på det nu med målsättningen att förhoppningsvis bli okej på det, enligt min egen standard. Om jag inte förstår varför saker jag gör fungerar så ser jag det som att jag inte förstår någonting alls.

OK det är bra att du verkligen anstränger dig för att förstå. Om polletten trillar ner så känns det ju väldigt bra.

Men du överskattar nog vad jag är med på och inte..

Tror inte jag hade misstänkt att det var rätt svar, för jag är inte helt med på vad 18 innebär.

18 innebär att rektangelns area ör 18 areaenheter. Om en givna sträckan är angiven i centimeter så skulle rektangelns area vara lika med 18 cm².

Vi jämför förhållandet mellan given triangel och den större triangeln vars ena katet är första triangelns hypotenusa, och vi får ut talet 18.

Nej, vi får att $\frac{x}{6} =\frac{6}{2r}$, dvs att $x=\frac{18}{r}$

Vi får ut att längden på den större triangelns hypotenusa måste vara 18? Vilket i sin tur också är arean på rektangeln? Jag är inte riktigt med..

Nej, den stora triangeln ABC har en hypotenusa AC med längden 2r.

Den mindre triangeln BCD har en hypotenusa BC med längden 6.

Jag förstår inte Mogens observation heller. Om man drar ut diagonalen så kommer den att träffa hörnet på en rektangel som sträcker sig över diametern tolkar jag det? Och då har den rektangeln på något sätt samma area som den här mindre rektangeln?

När vi sträcker ut rektangeln åt vänster så kommer punkt B att glida längs halvcirkeln ner mot punkt A. 

Om vi sträcker ut rektangeln så att den helt omsluter halvcirkeln så kommer punkt B att sammanfalla med punkt A och därmed får sträckan AB längden 6.

Eftersom AB fortfarande är lika med 2r så får halvcirkelns radie längden 3 och rektangeln får därmed arean 6•3 = 18 a.e.

=========

Kommentar 1:

När vi sträcker ut rektangeln åt vänster så minskar samtidigt halvcirkelns storlek, så de båda rektanglarna kan fortfarande ha samma storlek, även om det känns lite avigt.

Kommentar 2:

Sträckan BC, dvs den sträcka som har längden 6, är inte en diagonal.

Beskrivningen av hur man ritar upp figuren är ganska luddig, det går att rita upp flera olika bilder som stämmer med beskrivningen, där halvcirkelns radie kan vara från 6 längdenheter (då sammanfaller sträckan som är 6 enheter lång med diametern för halvcirkeln) till att sträckan som är 6 enheter lång går från högerhörnet till mitten av halvcirkeln (i så fall blir rektangeln en kvadrat). Om det skall kunna finnas en enda lösning på problemet så måste arean för rektangeln vara lika i dessa båda fall och i alla andra också - det innebär att arean måste vara oberoende av halvcirkelns radie. Då kan man räkna ut arean för någon av de enklaste varianterna.

Ja, men då var jag nog med ändå.

A = 18/r×r. A = 18.

Nej, jag tänkte att om man drog ut avstånd 6 till motsatta hörnet i rektangeln så skulle man bilda en diagonal som man kunde lära sig någonting utav. Men jag missuppfattade.

Och man ser detta, att punkt b kommer sammanfalla med a, för att båda punkterna delar samma triangel? Så om ad blir lika med 0 blir övriga sidor det också.

(Flyttar inlägget.)

Dkcre skrev:

Ja, men då var jag nog med ändå.

A = 18/r×r. A = 18.

Bra.

Nej, jag tänkte att om man drog ut avstånd 6 till motsatta hörnet i rektangeln så skulle man bilda en diagonal

OK men så var det inte tänkt.

Yngve skrev:

När vi sträcker ut rektangeln åt vänster så minskar samtidigt halvcirkelns storlek, så de båda rektanglarna kan fortfarande ha samma storlek, även om det känns lite avigt.

Ja, för mig känns det avigt, även om det går att tänka. Att en cirkel krymper när man rör sig längs bågen (flyttar kordans vänstra ände). Jag tänker mig att uppgiften är ovanlig så tillvida att den håller sig med en variabel längdenhet.

Den gröna kordans längd kan variera mellan 2r och r$\sqrt{2}$, fast längdenheten ändras så att måttet alltid är 6 le.

Det hade varit naturligare att visa att arean är a²/2, där a är kordans längd.

Jag är med så långt jag har förmåga till för tillfället. Tack.

Louis skrev:

Yngve skrev:

När vi sträcker ut rektangeln åt vänster så minskar samtidigt halvcirkelns storlek, så de båda rektanglarna kan fortfarande ha samma storlek, även om det känns lite avigt.

Ja, för mig känns det avigt, även om det går att tänka. Att en cirkel krymper när man rör sig längs bågen (flyttar kordans vänstra ände). Jag tänker mig att uppgiften är ovanlig så tillvida att den håller sig med en variabel längdenhet.

Den gröna kordans längd kan variera mellan 2r och r$\sqrt{2}$, fast längdenheten ändras så att måttet alltid är 6 le.

Det hade varit naturligare att visa att arean är a²/2, där a är kordans längd.

Hur vet vi att halvcirkelns storlek måste minska? Den kan väl vara lika stor bara att längden 6 kryper längre ner på rektangeln bara?

Och.. hur kan en rektangel som är större ha samma area? Dvs om man drar ut den till diametern. Naturligtvis är den inte större utan den måste bli lägre när den blir längre för att det ska kunna vara samma area. 

Naturligtvis är den inte större utan den måste bli lägre när den blir längre för att det ska kunna vara samma area. 

Höjden är hela tiden halvcirkelns radie. Problemet är vad vi menar med "samma area".
Om vi har en fast längdenhet, du kan tänka att vi ritar en sträcka bredvid figuren som är 1 le,
måste allting växa eller krympa när kordan BC flyttas. Så att BC alltid är 6 le och rektangelns area 18 ae.
Eller som jag föreslog: längdenheten är inte fast utan ändras så att BC alltid är 6 le oavsett hur den sträckan ändras utan att halvcirkeln ändras. Oklarheten gör det hela knepigt att tänka.

Nu är det ingen som sagt att vi måste ändra rektangeln. Det räcker att ta figuren som den är, använda likformighet som Yngve visade, och få arean till 18 ae.

 bara att längden 6 kryper längre ner på rektangeln bara?

Där är jag inte med på vad du menar.

Louis skrev:

Naturligtvis är den inte större utan den måste bli lägre när den blir längre för att det ska kunna vara samma area. 

Höjden är hela tiden halvcirkelns radie. Problemet är vad vi menar med "samma area".
Om vi har en fast längdenhet, du kan tänka att vi ritar en sträcka bredvid figuren som är 1 le,
måste allting växa eller krympa när kordan BC flyttas. Så att BC alltid är 6 le och rektangelns area 18 ae.
Eller som jag föreslog: längdenheten är inte fast utan ändras så att BC alltid är 6 le oavsett hur den sträckan ändras utan att halvcirkeln ändras. Oklarheten gör det hela knepigt att tänka.

Nu är det ingen som sagt att vi måste ändra rektangeln. Det räcker att ta figuren som den är, använda likformighet som Yngve visade, och få arean till 18 ae.

 bara att längden 6 kryper längre ner på rektangeln bara?

Där är jag inte med på vad du menar.

Det konstaterades att man kunde dra ut rektangeln så den täckte diametern, och arean på denna är i så fall 18. Men om man inte drar ut den, så är den fortfarande 18 i alla fall. Men ni skriver att halvcirkelns storlek ändras om man drar rektangeln åt vänster, det.. ja. Jag fattar inte.

Längden bc går ju från hörnet på rektangeln till skärningspunkten mellan radie och rektangelns ben, och drar man ut rektangeln till vänster så förflyttas den här skärningspunkten hela tiden nedåt på radien och hamnar således längre ner på rektangelns ben, för att slutligen då bli lika med diametern på halvcirkeln. Gör man det måste det resultera i att rektangeln får en större area eftersom det inte finns någon anledning till att radien ska förändras, men tydligen har den samma area i alla fall?

Du kanske förklarade varför ovan men jag är helt borta från vad du pratar om.

Dkcre skrev:

Hur vet vi att halvcirkelns storlek måste minska? Den kan väl vara lika stor bara att längden 6 kryper längre ner på rektangeln bara?

I bilden i svar #2 ser du att sträckan AC är längre än sträckan BC, som ju är 6 l e.

Det betyder att just denna halvcirkel har en radie som är större än 3 l.e.

Om nu punkt B glider ner längs ned halvcirkeln och sammanfaller med punkt A, samtidigt som sträckan BC fortfarande är 6 l e. så kommer halvcirkelns radie att vara exakt 3 l.e.

Alltså har halvcirkeln krympt..

Och.. hur kan en rektangel som är större ha samma area? Dvs om man drar ut den till diametern. Naturligtvis är den inte större utan den måste bli lägre när den blir längre för att det ska kunna vara samma area. 

Rektangeln har fått längre bas, från att vara mindre än 6 l.e. till att vara lika med 6 l.e.

Samtidigt har rektangelns höjd minskat, från att vara större än 3 l.e. till att vara lika med 3 l.e.

Rektangeln ör alltså inte nödvändigtvis större.

I själva verket är den fortfarande lika stor.

Ni pratar alltså om ett helt annat separat scenario med andra ord som blir enklare att räkna ifrån och inte just det här upplägget som ges i bilden. 

Ja, det där med att flytta punkten B var ett annat spår för att lösa uppgiften, som bygger mer på resonemang ön på beräkningar.

För att lösa uppgiften behöver vi inte blanda in några rörliga punkter och omformsde rektanglar/krympande halvcirklar om vi inte vill.

Det räcker med den metod jag beskrev i svar #2 och svar #6, dvs den med areaformeln A = x•r och två likformiga trianglar.

Så om du hängde med på den så tycker jag att du kan släppa det andra.

Här är min lösning, take or leave. Jag har inte samma beteckningar som ni har diskuterat i tråden. Och det står att trianglarna ABC och BDC är likformiga, det ska vara att BDC och ADB är likformiga eftersom deras vinklar är parvis lika.

Mogens skrev:

...det ska vara att BDC och ADB är likformiga eftersom deras vinklar är parvis lika.

Snyggt.

(En kommentar: BDC och ADB är likformiga, men du skriver att de har vinkeln vid C gemensam, vilket inte stämmer.)