Rektangel

MonaV skrev :

Hej!

Skulle någon kunna förtydliga denna uppgift för mig? Förstår verkligen ingenting.

Uppgiften:

En punkt P ligger på grafen till funktionen  y  =  x2   ;    0 < x < 2

Punkten P är ett av hörnen i en rektangel, där en av sidorna ligger på

x-axeln och en på linjen x = 2. Bestäm den största möjliga area, som

rektangeln kan ha.

MVH Mona

Det handlar om en rektangel där ett hörn ligger på grafen till $y=x^2$ och det diagonalt motstående hörnet ligger där linjen x = 2 skär x-axeln, dvs i punkten (2, 0).

---------

För att kunna lösa problemet behöver du förstå hur rektangeln ser ut.

Börja därför med att göra en figur.

Rita grafen till $y=x^2$.

Sätt ut en punkt P på grafen någonstans mellan x = 0 och x = 2.

Rita ut de sidor i rektangeln som är fasta. Det är x = 2 och x-axeln.

Rita de andra två sidorna som streckade linjer. De har hörnet i P gemensamt.

Teckna sedan ett uttryck för rektangelns area.

Sedan gäller det att mximera detta uttryck.

Fråga om de delar du behöver mer hjälp med.

Har ritat kurvan $x^2$ nu och satt ut punkten p på ca x= 1.5, förstår inte hur du menar med att jag ska rita ut sidorna?

MonaV skrev :

Har ritat kurvan $x^2$ nu och satt ut punkten p på ca x= 1.5, förstår inte hur du menar med att jag ska rita ut sidorna?

Bra början.

Men du har ritat P på på x-axeln.

P ska ligga på grafen till $y=x^2$.

Jagchar ritat in P i blått och sidorna i lila:

Sådär kanske det blev tydligare? Hur går jag vidare nu? :)

MonaV skrev :

Sådär kanske det blev tydligare? Hur går jag vidare nu? :)

Mycket bra!

Nu ska du teckna ett uttryck för rektangelns area A.

Eftersom A = b*h så behöver du först teckna uttryck för rektangelns bredd b och dess höjd h.

Punkten P har x-koordinaten x. Om du tittar i din figur så ser du att det betyder att rektangelns bredd är 2 - x. Dvs b = 2 - x. Är du med på det?

Gör nu samma sak för höjden h. Vad har punkten P för y-koordinat och hur kan du använda det för att teckna ett uttryck för rektangelns höjd h?

När du har tagit fram ett uttryck för höjden h så kan du även ta fram uttrycket för arean A eftersom A = b*h.

A kommer alltså att bero på x och det är värdet av A som du ska maximera.

Det blir alltså:

A= b*h

A= (2-x) * 2.5

A= 5 - 2.5x

2.5x = 5

x= 2

Tänker jag rätt då?

MonaV skrev :

Det blir alltså:

A= b*h

A= (2-x) * 2.5

A= 5 - 2.5x

2.5x = 5

x= 2

Tänker jag rätt då?

Nej. 

Just nu har du satt x vid 1,5 och då blir höjden h ungefär lika med 2,5 men x skulle lika gärna kunna ligga vid 0,5 och då blir inte höjden 2,5.

Höjden h beror alltså på vördet av x.

Tänk så här: Punkten P ligger på grafen till $y=x^2$. Det betyder att punktens koordinater x och y uppfyller sambandet $y=x^2$.

Om x-koordinaten för P är x, vad är då y-koordinaten för P?

y= $x^2$

A = (2-x) * $x^3$

Eftersom p hade koordinaten x och y = $x^2$ så blir det $x^3$

Så där då?

MonaV skrev :

y= $x^2$

A = (2-x) *$x^2$

Så där då?

Ja nu ser det bra ut. Arean är alltså en funktion av x:

$A(x)=(2-x)\cdot x^2$, där 0 < x < 2.

Vet du hur du nu ska göra för att hitta maxvärdet hos A(x)?

Redigerade mitt svar ovan innan du svarade och skrev $x^{3 } istället för x^2 men det blev ju fel!$

$$\begin{gathered} A\left(x\right) = (2-x) * x^2 \\ A\left(x\right) = 2x^2 - x^3 \\ A´\left(x\right) = 4x -3x^2 \\ 0= 4x - 3x^2 \\ 3x^2 = 4x \end{gathered}$$

Nu fastnar jag!

MonaV skrev :

Redigerade mitt svar ovan innan du svarade och skrev $x^{3 } istället för x^2 men det blev ju fel!$

$$\begin{gathered} A\left(x\right) = (2-x) * x^2 \\ A\left(x\right) = 2x^2 - x^3 \\ A´\left(x\right) = 4x -3x^2 \\ 0= 4x - 3x^2 \\ 3x^2 = 4x \end{gathered}$$

Nu fastnar jag!

Du har gjort rätt.

$4x-3x^2=0$

Bryt ut x ur VL:

$x(4-3x)=0$

Nu kan du använda nollproduktmetoden.

För att ekvationen ska vara uppfylld så måste alltså antingen x = 0 eller 4 - 3x = 0.

---------

En annan (och krångligare) metod är att använda pq-formeln på ekvationen $4x-3x^2=0$

$$\begin{gathered} 4x -3x^2 = 0 \\ x(4 - 3x) = 0 \\ x = 0 \\ 4-3x = 0 \\ Hur fortsätter jag här ifrån? \end{gathered}$$

Kan detta vara något?

Ojojoj vad det blev krångligt.

Tänk istället så här:

A'(x) = 0 då x = 0 eller då 4 - 3x = 0.

x = 0 ingår inte i definitionsmängden till A(x) (varför inte?), så den kan vi sortera bort direkt.

Återstår att 4 - 3x = 0, dvs x = 4/3.

Vi vet alltså att x = 4/3 är ett extremvärde till A(x) och att A(x) då har värdet

$A(\frac{4}{3})=(2-\frac{4}{3})\cdot (\frac{4}{3})^2$

$A(\frac{4}{3})=\frac{2}{3}\cdot \frac{16}{9}$

$A(\frac{4}{3})=\frac{32}{27}$

Frågan är nu om detta är en min- eller maxpunkt.

Detta kan du avgöra på flera olika sätt.

$$\begin{gathered} A´\left(x\right) = 0 ingår ej i definitionsmängden då vi har 0<x<2 Vilket \\ menas med att x är större än noll. \end{gathered}$$

4-3x = 0

0 = 4-3x

x= $\frac{4}{3}$

A(x) = (2-x) * $x^2$

A$\left(\frac{4}{3}\right)$ = (2 - $\left(2- \frac{4}{3}\right)$ * ${\left(\frac{4}{3}\right)}^2$

$$\begin{gathered} A\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{2}{3} * \frac{16}{9}\right) \\ A\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{32}{27}\right) \end{gathered}$$

Står stilla för mig! Ska jag sätta in 4/3 i funktionen?

MonaV skrev :

$$\begin{gathered} A´\left(x\right) = 0 ingår ej i definitionsmängden då vi har 0<x<2 Vilket \\ menas med att x är större än noll. \end{gathered}$$

4-3x = 0

0 = 4-3x

x= $\frac{4}{3}$

A(x) = (2-x) * $x^2$

A$\left(\frac{4}{3}\right)$ = (2 - $\left(2- \frac{4}{3}\right)$ * ${\left(\frac{4}{3}\right)}^2$

$$\begin{gathered} A\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{2}{3} * \frac{16}{9}\right) \\ A\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{32}{27}\right) \end{gathered}$$

Står stilla för mig! Ska jag sätta in 4/3 i funktionen?

Du har löst problemet och beräknat rektangelns maximala area. Den är 32/27 areaenheter och detta värde fås då x = 4/3.

Om du dessutom vill visa att detta verkligen är ett maxvärde och inte ett minvärde eller terrasspunkt kan du göra på flera olika sätt:

1. "Teckentabell": Beräkna arean för ett värde på x som är mindre än 4/3 och ett värde på x som är större än 4/3. Verifiera att båda dessa areor är mindre än 32/27. Eftersom det endast finns en extrempunkt i intervallet så måste den punkt vi hittat vara en maxpunkt.

2. Andraderivatans tecken i extrempunkten. Derivera areafunktionen igen. $A''(x)=4-6x$. Andraderivatans värde i extrempunkten är $A(4/3)=4-6\cdot 4/3=4-8=-4$. Eftersom detta värde är mindre än 0 så är extrempunkten en maxpunkt.

På förslag 1 ser jag inte riktigt vad det står? det är massa konstiga tecken i allt :(

MonaV skrev :

På förslag 1 ser jag inte riktigt vad det står? det är massa konstiga tecken i allt :(

Jag har formulerat om förslag 1:

$$\begin{gathered} A = (2-x) * x^2 \\ A\left(1\right) = (2 - 1) * 1^2 \\ A\left(1\right) = 1 \\ A\left(2\right) = (2-2) * 2^2 \\ A\left(2\right) = 0 \end{gathered}$$

Nu har jag tagit ett över och ett under, detta bevisar ju att 4/3 är en maximipunkt?

Var det så du tänkte?

MonaV skrev :

$$\begin{gathered} A = (2-x) * x^2 \\ A\left(1\right) = (2 - 1) * 1^2 \\ A\left(1\right) = 1 \\ A\left(2\right) = (2-2) * 2^2 \\ A\left(2\right) = 0 \end{gathered}$$

Nu har jag tagit ett över och ett under, detta bevisar ju att 4/3 är en maximipunkt?

Var det så du tänkte?

Ja, men du kan inte använda x = 2 för det värdet ingår inte i definitionsmängden för areafunktionen.

Detta pga att ena sidlängden då får längden 0 och rektangeln då inte längre är en rektangel. Detsamma gäller för x = 0. Även då blir arean lika med 0. Den geometriska figuren är då istället en sträcka. En sträcka har endast utbredning i en dimension och har alltså ingen area.

Jämför med en cirkel. För en cirkel ska vara en cirkel krävs det att radien är större än 0. Annars är det endast en punkt.

A(1.5) = (2 - 1.5) * 1.5^2

A(1.5) = 1.125

Kan jag använda denna då?

Eller ska jag ta 1.1 ?

MonaV skrev :

A(1.5) = (2 - 1.5) * 1.5^2

A(1.5) = 1.125

Kan jag använda denna då?

Ja det går bra.

Då är den löst? 

Svart blir: rektangeln är 32/27 areaenheter när x = 4/3 ?

MonaV skrev :

Eller ska jag ta 1.1 ?

Nej de båda värdena måste vara på olika sidor om x = 4/3.

x = 1 och x = 1,1 ligger båda på samma sida av x = 4/3.

Yngve skrev :

MonaV skrev :

Eller ska jag ta 1.1 ?

Nej de båda värdena måste vara på olika sidor om x = 4/3.

x = 1 och x = 1,1 ligger båda på samma sida om den punkten.

Jag tog 1.5

Tänker du att 4/3 = 1.333. 

Och att jag nu har bevisat att den är maximipunkten?

MonaV skrev :

Då är den löst? 

Svart blir: rektangeln är 32/27 areaenheter när x = 4/3 ?

Ja den är löst. Ja det är rätt svar.

Tack så jätte mycket för hjälpen och ditt tålamod!!

MonaV skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

MonaV skrev :

Eller ska jag ta 1.1 ?

Nej de båda värdena måste vara på olika sidor om x = 4/3.

x = 1 och x = 1,1 ligger båda på samma sida om den punkten.

Jag tog 1.5

Tänker du att 4/3 = 1.333. 

Och att jag nu har bevisat att den är maximipunkten?

Ja. Med en förklarande figur och ett tydligt resonemang kring definitionsmängd och varför vi vet att det är en maxpunkt så tycker jag att lösningen borde ligga på A-nivå.

Bra tålamod själv, förresten! 👍

Hej!

Jag fattar inte hur basen = 2-x? Jag verkligen behöver hjälp med detta. 

Tack på förhand!

karin123 skrev:

Hej!

Jag fattar inte hur basen = 2-x? Jag verkligen behöver hjälp med detta. 

 

Tack på förhand!

Välkommen till Pluggakuten!

Gör en ny tråd om din fråga, även om det handlar om samma uppgift. /moderator