Reglerteknik - Bestäm termen K och T i överföringsfunktionen där in och utsignalen är sinusformad

Kan du visa hur du tänker runt det här problemet så vi vet var vi skall börja när vi hjälper dig. 

Från grafen som visar in och utsignalerna så är amplituden på insignalen 1. Amplituden av utsignalen kan jag mäta upp i grafen som 0,45. Jag tror att K fås genom att ta utsignalens amplitud dividerat med insignalens, alltså

$K=\frac{0,45}{1}=0,45$

(Konstanten K har i tidigare exempel där vi har ett stegsvar varit den statiska förstärkningen vilket har varit slutvärdet i amplitud för stegsvaret. I samma stegsvar har T bestämts som den tid det tar för systemet att nå 63% av slutvärdet. Alltså i det fallet med stegsvaret så mättes T upp som värdet på tid-axeln i punkten där amplituden är 0.63K)

Jag vet inte hur man bestämmer T för detta fallet där vi har in och utsignaler i sinus och där vi har en graf som representerar in och utsignalerna istället för ett stegsvar.

i grafen med sinusfunktionerna så är utsignalen förskjuten till höger och jag kan räkna ut förskjutningen $\phi$ genom att mäta tidskillnaden t2-t1 mellan två t.ex toppar på respektive sinus. Den exakta uträkningen för $\phi$ kan jag inte i huvudet, den har jag hemma(är i skolan för tillfället).

Hade det nu varit ett statiskt fall så hade du fått full poäng för amplitud och förstärkningsresonemanget. 

Men nu är det inte så, vi har här att göra med harmoniska signaler. Då kan man ersätta s med jω i överföringsfunktionen. Kan du då ställa upp uttryck för överföringsfunktionens förstärkning och fasvridning som funktion av frekvensen?

Tack för svar! Jag får testa när jag kommer hem i eftermiddag och lägger ut vad jag kommer fram till ikväll.

$t1=6,5$

$t2=9,5$

Periodtiden $T$ blir då:

$T=t2-t1=9,5-6,5=3$

$\omega =2\pi *f$       ,$f=\frac{1}{T}$    $\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}$  $\Rightarrow \omega =\frac{2\mathrm{\pi }}{T}=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\approx 2 rad/s$

Mäter upp i grafen två punkter mellan två toppar för att få tidsförskjutningen mellan de två sinus som 11,25 och 11 sekunder. Från detta kan vi räkna ut fasförskjutningen som:

$\phi =-\frac{11,25-11}{9,5-6,5}360=-30°$

$G\left(j\omega \right)=\frac{K}{j\omega T+1}$ (notera att T är samma som där uppe, ej periodtiden)

 $\left|G\left(j\omega \right)\right|=\frac{\sqrt{K^2}}{\sqrt{{\left(j\omega T\right)}^2+1}}=\frac{K}{\sqrt{{\omega }^2{T}^2+1}}=0,45$

Är tanken att jag ska bryta ut T här eller är jag helt fel ute och kommer jag behöva ett uttryck för $argG\left(j\omega \right)$ också? Osäker på hur jag går vidare.

       , 

När du räknar ut beloppet av G då skall j inte finnas med. Det är ju en tillämpning av Pythagoras sats på de rena real- och imaginärdelarna. 

argG är den fasvridning som överföringsfunktionen ger. Sätt upp uttrycket för argG och med det avlästa värdet på fasförskjutningen får du då direkt värdet på T (tidskonstanten i G, inte periodtiden).

T sätts sedan in i uttrycket för förstärkningen och K värdet trillar då ut. 

Frekvensen är som sagt beräknad till:

$\omega =2 rad/s$

Och fasförskjutningen till:

$\phi =-30°$

$argG\left(j\omega \right)=arc\tan \left(\frac{\omega T}{1}\right)=-30° \iff \frac{2T}{1}=\tan (-30°) \Rightarrow T=\frac{\tan (-30°)}{2}\approx 0,29$

(1)  $\left|G\left(j\omega \right)\right|=\frac{K}{\sqrt{{\omega }^2{T}^2+1}}=0,45$

Sätter in $\omega$ och T i (1):

$\frac{K}{\sqrt{2^2*0,{29}^2+1}}=0,45 \Rightarrow K=0,45*\sqrt{2^2*0,{29}^2+1}\approx 0,52$

Svar:

$T=0,29$

$K=0,52$

så här?

Sisådärja!

En liten men väsentlig korrektion: Fasvridningen kommer från överföringsfunktionens nämnare och är därför negativ. Det skall stå ett minustecken framför arctanG och då ordnar det sig snyggt i beräkningen av T. 

Nu förstår jag

Tack så mycket för all hjälp och ditt tålamod!