Regler för förenkling av uttryck

Hej!

Om jag har $\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} + 1} o c h \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$ , kan jag sätta $\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 2$

även om x = 0 är definierad i första uttrycket men inte i de två andra; $\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} + 1} \neq \frac{\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} = \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}} ?$

Jag undrar också om det gäller även när x går mot noll istället för mot oändligheten, dvs. gäller detta också $\lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$ fastän $\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} + 1} \neq \frac{\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} = \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}} ?$

Ja och ja. När du förkortar bråket med $x^2$ får du ett bråk som är helt likvärdigt, för alla x utom just x=0. Så när x går mot oändligheten beter sig bråken precis likadant, vad som händer borta i x=0 är inte relevant. Därför blir gränsvärdena samma.

Kanske mer förvånande är att även $x\to 0$ funkar utan problem. Men ett gränsvärde handlar inte om "destinationen" x=0, utan hur funktionen beter sig på väg *mot* x=0. Och som sagt, bråken är ekvivalenta för alla x som inte är 0, så gränsvärdena är lika.

Skaft skrev:
Ja och ja. När du förkortar bråket med $x^2$ får du ett bråk som är helt likvärdigt, för alla x utom just x=0. Så när x går mot oändligheten beter sig bråken precis likadant, vad som händer borta i x=0 är inte relevant. Därför blir gränsvärdena samma.

Kanske mer förvånande är att även $x\to 0$ funkar utan problem. Men ett gränsvärde handlar inte om "destinationen" x=0, utan hur funktionen beter sig på väg *mot* x=0. Och som sagt, bråken är ekvivalenta för alla x som inte är 0, så gränsvärdena är lika.

Tack så jättemycket för dina svar på mina trådar. De hjälper verkligen!

Svara