Regler för derivata av y=a^x och y=a^kx

Hej!

Jag tycker det här med naturliga logaritmer är lite krångligt.

I min bok står att följande två regler gäller för derivatan av exponentialfunktionen $y = a^{x}$ y

$y = a^{x}$ har derivatan $y' = a^{x} \times \ln a$

$y = a^{k x}$ har derivatan $y' = a^{k x} \times k \times \ln a$

I formelbladet kan jag dock bara hitta det första sambandet och inte det andra. Hur kommer det sig? Ska man bara kunna den andra eller bygger den på någon annan regel?

Dessutom står det ett exempel på en uppgift precis under dessa regler i min bok som jag inte heller förstår mig på. Uppgiften lyder...

Derivera $y = 250 \times 2^{3 x}$

Jag tänkte att det andra sambandet borde gälla här, vilket skulle innebära att det blir.

$y' = 250 \times 2^{3 x} \times 3 \times \ln = 750 \times 2^{3 x} \times \ln 2$

Sen vet jag inte riktigt hur jag skulle fortsätta där men enligt facit blir det bara

$y' \approx 250 \times 2^{3 x}$

Jag fattar ingenting. Vart försvinner 3 och ln2 någonstans? Känner mig helt lost. Någon som kan hjälpa?

Exemplet begriper inte jag heller. Jag tycker som du att det borde bli $y^\prime = 750\cdot 2^{3x}\cdot \ln(2)$ , och ska man sätta ett avrundat värde på 750*ln(2) så blir det ca 520. Ganska långt från 250 alltså, men kanske råkade de bara knappa in femman och tvåan i fel ordning?

Vad gäller deriveringsregeln för a^kx så är det ett exempel på kedjeregeln. Den kommer först i nästa kurs egentligen, innan dess presenterar man ofta deriveringsregler som

$D(e^{kx}) = ke^{kx}\\ D(\sin(kx)) = k\cos(kx)$

som att de vore egna regler (jag använder "D(...)" för att betyda "derivatan av ..."). Men det gemensamma för dessa är alltså att när du har "kx" istället för bara "x" i en funktion du deriverar, derivera som vanligt men multiplicera allt med k på slutet.

På fråga 1 det bygger på e^kx, se här

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivata/exponentialfunktioner

PÅ fråga 2 är jag också lite undrande. t ex 750*ln2 =520

Oj, det var mitt fel. Stod 520 och inte 250.

Men det var bra med förklaring ändå för jag hade ändå inte förstått det annars men nu fattar jag.

Vad konstigt att de redan introducerar saker från matte 4. Särskilt när man bara vill klara av matte 3 och sen vara färdig hehe. Tack för förklaringarna! Nu tror jag jag förstår hur jag ska göra (:

Svara

Visa senaste svar