Regel för delbarhet med 11

Ett tal i talbas 10 kan skrivas som en summa. Talet 352 kan skrivas som

$3\cdot 10^2+5\cdot 10^1+2\cdot 10^0$

$10^2\equiv (-1)^2\pmod{11}$

Går det att utnyttja det på något vis?

D4NIEL skrev:

Ett tal i talbas 10 kan skrivas som en summa. Talet 352 kan skrivas som

$3\cdot 10^2+5\cdot 10^1+2\cdot 10^0$

$10^2\equiv (-1)^2\pmod{11}$

Går det att utnyttja det på något vis?

Man kan skriva talet i talbas 10 med kongruens tecken där varje 10ⁿ ger antingen -1 eller 1 (mod 11). Och eftersom 10 är kongruent med -1 (mod 11) kommer t.ex. 352 bli dess siffersumma med negativt och positiva värden. Och siffersumman med de +- måste tillsammans bli 0 (mod 11) för att vara delbar med 11. 352 blir då 352 ≡ 3 -5 + 2 = 0 (mod 11) och därmed delbar med 11.  Så 10 ≡ -1 (mod 11) utnyttjas på det sättet? Har jag förstått rätt? 

Jättebra. Om vi istället tar ett tal som inte är delbart med 11 får vi ändå lite information

Om vi till exempel tar talet 534128 får vi (jag skriver baklänges för att få + på sista siffran)

8-2+1-4+3-5=1

Alltså är $535029\equiv 1 \pmod{11}$, dvs vi kan nästan omedelbart se att det slumpmässiga talet 534128 lämnar resten 1 vid division med 11.

D4NIEL skrev:

Jättebra. Om vi istället tar ett tal som inte är delbart med 11 får vi ändå lite information

Om vi till exempel tar talet 534128 får vi (jag skriver baklänges för att få + på sista siffran)

8-2+1-4+3-5=1

Alltså är $535029\equiv 1 \pmod{11}$, dvs vi kan nästan omedelbart se att det slumpmässiga talet 534128 lämnar resten 1 vid division med 11.

Jag fattar! Tack så mycket.