Reflexiva Banachrum
Jag vill visa, att om X är ett Banachrum så är X reflexivt omm X* är reflexivt.
Det är trivialt att om A och B är normerade vektorrum och A=B så är A*=B*. För att visa omvändningen antar jag att A*=B*, men att A är skilt från B. Säg att det finns a skilt från 0 i A, men att a icke tillhör B. I A* finns då en funktional f sådan att f(a)=0, vilket innebär att a tillhör f-1 (0). Men f kan då inte tillhöra B* eftersom f-1 (0) inte kan omfatta a, ty a tillhör ju inte B. Vi har således A=B omm A*=B*, som vi kan betrakta som ett lemma.
Tillämpas detta lemma på situationen X = X** får vi omedelbart X*=X*** och omvänt. Vad är då problemet? Jo, vad ska vi med Banach till, om det räcker med normerade vektorrum? Fullständigheten har ju aldrig använts ovan.
Det finns en grön ruta längst upp, som säger att jag inte behöver mer hjälp, men det är för att få hjälp som jag ställt frågan. Kan inte få bort den gröna rutan. Behöver hjälp för det också.
Den gröna rutan är alltid där, tryck där endast när du känner att du inte längre behöver hjälp med fråga. Om du fortfarande behöver hjälp så kan du bara ignorera att den är där. :)
Tack Dracaena! Då blev det ett problem mindre.
Nu återstår om det finns någon "funktionalanalyst" som kan rycka till min undsättning. I den här sortens uppgifter brukar det inte ges någon onödig gratis struktur, så någon defekt förväntar jag mig att min lösning har.
Ge mig nån timme, jag kan inte detta men jag kan googla!
En liten sak att notera i sammanhanget är att om A och B ovan är Banach och det finns en punkt a tillhörande A \ B så finns en hel omgivning till a i A \ B . (B är sluten).
Ställde frågan till "Fråga Lund, matematik" och fick följande hjälpsamma svar:
Tolkar man likheterna mängdteoretiskt, så är det självklart att A = B om och endast om A* = B*. Det är emellertid inte så likheten X = X** skall tolkas. Det handlar i stället om att isometrin J : X → X** definierad genom J(x)(f) = f(x) skall vara surjektiv. Om den är det, identifierar man x ∈ X med J(x) ∈ X**, och detta är innebörden av likheten.
För övrigt gäller det för varje normerat rum X att X* är ett Banachrum. Därför är också X** ett Banachrum, och om X inte är ett Banachrum, så kan X inte vara reflexivt.
Lösningarna till uppgifterna 2c) och d) i dokumentet Functional Analysis Exercise Class utgör tillsammans ett ganska lättbegripligt bevis för påståendet i fråga.
Kjell Elfström
