Reflexitet

Är du med på definitionen av en ekvivalensrelation?

om $x_1, x_2, x_3 \in X$, så är $R$ en ekvivalensrelation på $X$ om dessa tre kriterier är uppfyllda:

• $x_1$ relaterar till sig själv (Reflexivitet) 
• Om $x_1$ relaterar till $x_2$ så relaterar $x_2$till $x_1$ (Symmetri)
• Om $x_1$ relaterar till $x_2$ och $x_2$ relaterar till $x_3$
  så relaterar $x_1$ till $x_3$ (Transitivitet)

Hej!

• Reflexivitet: Du vill visa att $x/y = x/y\ .$
• Symmetri: Du vill visa att om $x/y = u/v$ så gäller det att $u/v = x/y\ .$
• Transitivitet: Du vill visa att om $x/y = u/v$ och $u/v = a/b$ så gäller det att $x/y = a/b\ .$

Vad kallar vi alla par av naturliga tal $(x,y)$ om är ekvivalenta med paret $(1,1)$?

Albiki

Hmm vet inte om jag riktig förstår. Har som sagt lite svårt o förstå det. Finns det något enkelt exempel ?

Mängden $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ utgörs av ordnade par $(a,b)$.

Jag tycker först och främst att vi bör modifiera uppgiften något, så att relationen $R$ definieras av:

$(a,b)R(c,d) \Leftrightarrow ad = bc$. 

• Reflexivitet: $(a,b)R(a,b)$ om $ab=ba$ (vilket är sant eftersom att multiplikation är kommutativt för de naturliga talen, $\mathbb{N}$).
• Symmetri: Anta att $(a,b)R(c,d)$, alltså är $ad=bc$, men eftersom att multiplikation är kommutativt för de naturliga talen, $\mathbb{N}$, så är $cb = da$ och alltså gäller att $(c,d)R(a,b)$.
• Transitivitet: Låt $(a,b)R(c,d)$, och $(c,d)R(e,f)$. Då gäller att:
  1) $ad = bc$ och 2) $cf = de$
  $(ad)f = (bc)f$    (multiplicera båda led i 1) med $f$)
  $(af)d = b(cf)$    (multiplikation är associativ och kommutativ)
  $(af)d = b(de)$   (cf = de)
  $(af)d = (be)d$  (multiplikation är associativ och kommutativ)
  $af = be \Leftrightarrow (a,b)R(e,f)$

Som exempel,

$(1,3)R(2,6) \Leftrightarrow 1 \cdot 6 = 3 \cdot 2$

$(1,3)R(3,9) \Leftrightarrow 1 \cdot 9 = 3 \cdot 3$

Alla element i mängden $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ som är relaterade till $(1,3)$ tillhör ekvivalensklassen $[(1,3)]$. 

Ekvivalensklassen kan kort och gott kallas "en tredjedel", och här ingår "två sjättedelar", samt "tre niondelar" och så vidare.

De rationella talen $\mathbb{Q}$ kan definieras med denna ekvivalensrelation (på $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$).

En video om ekvivalensrelationer från Stockholms universitets kurs "Algebra och kombinatorik"

Ok tack för infon:

Kan man formulera då om frågan till

(x,y)R (z,w)<=> xw=zy ? 

Lite svårt att tänka vid division tycker jag